Trivialiti (matematika)

Dalam matematika, kata sifat trivial digunakan untuk suatu kasus yang diperoleh dengan mudah dari konteks, atau objek yang memiliki struktur sederhana (misalnya, grup, ruang topologi).^[1]^[2]^[3] Kata benda trivialiti mengacu pada aspek teknis sederhana dari beberapa bukti atau definisi. Asal usul istilah dalam bahasa matematika berasal dari kurikulum abad pertengahan trivium, yang membedakan dari kurikulum kuadrivium yang sulit.^[2]^[4] Kebalikan dari trivial adalah nontrivial, biasa digunakan untuk menunjukkan bahwa contoh atau solusi tidak sederhana, atau pernyataan teorema yang tidak mudah dibuktikan.^[1]^[3]

Solusi trivial dan nontrivial

Dalam matematika, istilah "trivial" digunakan untuk objek (yaitu, grup dan ruang topologi) dengan struktur sederhana

Himpunan kosong: himpunan bukan anggota nol
Grup trivial: grup yang digunakan sebagai elemen identitas
Gelanggang trivial: gelanggang ditentukan pada himpunan tunggal

"Trivial" digunakan untuk mendeskripsikan solusi untuk persamaan dari struktur sederhana, tetapi demi kelengkapan tidak dapat diabaikan. Solusi ini disebut solusi trivial. Misalnya, perhatikan persamaan diferensial

y'=y

dimana $y=y(x)$ adalah fungsi dengan turunan adalah $y'$ . Solusi trivial adalah

y(x)=0

, fungsi nol

sedangkan solusi nontrivial adalah

y(x)=e^{x}

, fungsi eksponensial.

Persamaan diferensial $f''(x)=-\lambda f(x)$ dengan kondisi batas $f(0)=f(L)=0$ penting dalam matematika dan fisika, karena dapat digunakan untuk mendeskripsikan partikel dalam kotak dalam mekanika kuantum, atau gelombang berdiri pada string. Solusi $f(x)=0$ disebut solusi "trivial". Dalam beberapa kasus, solusi lain (sinusoid) yang disebut solusi "nontrivial".^[5]

Demikian pula, matematikawan mendeskripsikan Teorema Terakhir Fermat sebagai pernyataan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat nontrivial untuk persamaan $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , dimana n dari 2. Jelas, beberapa solusi untuk persamaan tersebut. Misalnya, $a=b=c=0$ adalah solusi untuk n, tetapi solusi tersebut jelas dan diperoleh dengan sedikit dari trivial.

Dalam penalaran matematis

Trivial merujuk pada bukti kasus yang mudah dengan kelengkapan tidak diabaikan. Misalnya, pembuktian oleh induksi matematika memiliki dua bagian: "kasus dasar" yang menunjukkan bahwa teorema benar untuk nilai awal tertentu (sebagai contoh n = 0 atau n = 1), dan langkah induktif jika teorema untuk nilai n tertentu, maka untuk nilai adalah n + 1. Kasus dasar trivial dan diidentifikasi, meskipun dimana kasus dasar sulit tetapi langkah induktif trivial. Demikian pula, membuktikan beberapa sifat dimiliki oleh anggota himpunan tertentu. Bagian utama dari bukti akan mempertimbangkan kasus himpunan yang tidak kosong, dan memeriksa anggota secara rinci; dalam kasus di mana himpunan kosong, properti itu dimiliki secara sepele oleh semua anggota, karena tidak ada (lihat vacuous kosong untuk informasi lebih lanjut).

Komunitas matematika adalah mengatakan bahwa "trivial" sama dengan "terbukti", yaitu teorema adalah "trivial" setelah diketahui benar.^[2]

Matematikawan yang membahas teorema: pertama mengatakan bahwa teorema "trivial". Menanggapi penjelasan dari pihak lain, kemudian dengan eksposisi selama dua puluh menit. Di akhir penjelasan, matematikawan kedua adalah teorema itu trivial. Matematikawan pertama mengatakan teorema adalah trivial, tetapi tidak dapat membuktikannya sendiri. Seringkali, sebagai teorema kemudian disebut sebagai "jelas secara intuitif". Dalam kalkulus, misalnya pernyataan trivial berikut:

\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}

Namun, bagi yang tidak memiliki pengetahuan tentang kalkulus integral, sama sekali tidak jelas.

Bukti dalam analisis fungsional, dengan suatu bilangan dengan mudah dimana keberadaan bilangan yang lebih besar. Namun, ketika membuktikan hasil dasar tentang bilangan asli di teori bilangan dasar, buktinya mungkin sangat bergantung pada pernyataan bahwa bilangan asli memiliki penerus pernyataan dengan dibuktikan atau dianggap sebagai aksioma (untuk selengkapnya, lihat aksioma Peano).

Bukti trivial

Dalam beberapa teks, bukti trivial merujuk pada pernyataan yang melibatkan dimana konsekuensi Q adalah implikasi material P → Q.^[6] Bukti berdasarkan definisi implikasi material, sebagai implikasi terlepas dari bilangan anteseden P.^[6]

Konsep terkait adalah vacuous kosong, di mana anteseden P dalam implikasi material P → Q.^[6] Implikasi terlepas dari bilangan konsekuensi Q berdasarkan definisi implikasi material.^[6]

Contoh

Dalam teori bilangan, untuk faktor dari bilangan bulat N. Bilangan N memiliki empat faktor yang jelas: ± 1 dan ± N disebut "faktor trivial". Faktor lain, jika disebut "nontrivial".^[7]
Persamaan 1 homogen matriks $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , dimana $A$ adalah matriks tetap, $\mathbf {x}$ adalah vektor tidak diketahui, dan $\mathbf {0}$ adalah vektor nol, dengan solusi yang jelas $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , disebut "solusi trivial". Jika solusi $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ , maka disebut "nontrivial"^[8]
Dalam teori grup, grup sederhana dengan satu elemen di dalamnya; ini sering disebut "grup trivial". Dalam grup lain, yang lebih rumit, disebut "nontrivial".
Dalam teori graf, graf trivial adalah graf yang hanya memiliki 1 simpul dan tidak memiliki sisi.
Teori database memiliki konsep yang disebut depensesi fungsional, ditulis $X\to Y$ . Dependensi $X\to Y$ jika Y adalah himpunan bagian dari X, jenis dependensi adalah "trivial". dependensi lainnya, yang kurang jelas, disebut "non trivial".
Dapat ditunjukkan bahwa Fungsi zeta Riemann memiliki nol pada bilangan genap negatif -2, -4, ... Meskipun buktinya relatif mudah, biasanya tidak disebut trivi; Namun, dalam kasus ini, karena bilangan nol lainnya umumnya tidak diketahui dan memiliki aplikasi penting dan melibatkan pertanyaan terbuka (yaitu hipotesis Riemann). Karenanya, bilangan genap negatif disebut sebagai angka nol trivial dari fungsi tersebut, sedangkan angka nol lainnya dianggap non-trivial.