Relasi biner

Relasi biner dalam matematika, singkatnya relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan . Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

R_{AB}\subseteq A\times B

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.

\forall _{a\in A}\quad (a,a)\in R

atau

\forall _{a\in A}\quad aRa

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

\forall _{a\in A}\quad (a,a)\notin R

atau

\forall _{a\in A}\quad \lnot (aRa)

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

\forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R

atau

\forall _{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa

Sebuah relasi “ $x+y$ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

\forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow ((a,b)\in R\rightarrow (b,a)\notin R)

atau

\forall _{a,b\in A}\quad a\neq b\rightarrow (aRb\rightarrow \lnot (bRa))

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

\forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b

atau

\forall _{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b

Relasi $\leq$ bersifat anti-simetrik, karena $5\leq 6$ mengakibatkan $\lnot (6\leq 5)$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku $p\leq q$ dan $q\leq p$ berarti $p=q$ .

Relasi transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

(a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R

atau

\forall _{a,b,c\in A}{aRb\wedge bRc\rightarrow aRc}

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi ekuivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas kesetaraan atau kelas kesetaraan.

Orde parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif

Lihat pula