Teorema pengulangan Poincaré

Menurut teorema pengulangan Poincaré, setiap partikel yakni yang merah, dan abu-abu pada medium diatas akan kembali kepada posisi awal atau setidaknya hampir menyamai posisi awal.

Teorema pengulangan Poincaré adalah suatu teori pada ilmu fisika matematis yang beranggapan bahwa setiap partikel-partikel yang bergerak di suatu medium pada waktu tertentu akan kembali kepada posisi awal atau setidaknya hampir menyamai posisi awal.

Istilah detik Poincaré merujuk pada waktu yang dibutuhkan partikel-partikel yang bergerak untuk kembali menyamai posisi awalnya, dan biasanya waktu yang dibutuhkan tergantung dari jumlah partikel pada medium, semakin banyak jumlah partikel pada medium maka akan semakin lama.

Teorema ini sering dikaitkan dengan anggapan bahwasannya alam semesta setelah hancur akan kembali membentuk dirinya sendiri yang serupa dengan bentuk awalnya, dan bahkan hal-hal yang setiap makhluk hidup telah alami setelah alam semesta hancur akan kembali terulang, terutama takdir setiap manusia.

Teorema ini dinamakan atas nama tokoh yang pertama kali membahasnya yakni Henri Poincaré, dan telah dibuktikan oleh Carathéodory.

Pernyataan

Setiap partikel-partikel yang bergerak di suatu medium dapat dinyatakan sebagai pergerakan dari suatu titik menuju titik lain. Pergerakan setiap partikel-partikel tersebut pada suatu waktu akan kembali menyamai posisi awal atau setidaknya hampir menyamai posisi awal. Maka dari itu teorema dapat dinyatakan sebagai: Apabila adanya gerakan dari partikel menuju suatu titik pada medium, maka pada waktu tertentu partikel tersebut akan menyamai posisi awal atau setidaknya hampir menyamai posisi awal. Secara matematis kita dapat menyatakan teorema sebagai:

$$\mu (A\setminus A_{N})=0$$

Dengan fungsi μ mewakili besar perubahan jarak posisi suatu partikel, A ialah posisi awal partikel, tanda '\' merujuk besar perubahan posisi suatu partikel, dan A_N ialah posisi partikel pada suatu waktu. Maka secara harfiah persamaan diatas ialah besar perubahan jarak suatu partikel pada waktu N ialah nol atau posisi partikel setelah bergerak sebanyak waktu N kembali kepada posisi awal .

Pembuktian

Premis pembuktian

Untuk membuktikan teorema kita membutuhkan dua premis yakni:

• Partikel hanya boleh bergerak pada suatu medium.
• Bentuk dan volume dari medium bersifat tetap atau tidak berubah-ubah.