Lompat ke isi

Metode Newton

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam analisis numerik, metode Newton adalah suatu algoritma pencari akar fungsi yang mencari hampiran yang lebih baik hampiran terhadap akar fungsi bernilai riil. Metode ini juga dikenal sebagai metode Newton–Raphson, yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson. Metode ini dimulai dari diketahui suatu fungsi yang terdefinisi dari untuk suatu bilangan real , beserta turunannya , serta memulai dengan tebakan nilai awal . Jika suatu fungsi memenuhi asumsi serta tebakan nilai awal semakin mendekat, maka hampiran yang lebih baik untuk adalahHampiran di atas memberikan hampiran akar yang lebih baik daripada x0. Secara geometris, (x1, 0) merupakan perpotongan dari sumbu-x dan garis singgung dari grafik fungsi f di (x0, f(x0)). Ini berarti bahwa tebakan nilai yang diperhalus merupakan akar tunggal dari hampiran linear di titik awal. Proses tersebut akan berulang, yang dituliskan sebagai,sampai proses tersebut mencapai nilai yang tepat.

Deskripsi

[sunting | sunting sumber]

Gagasan metode ini menjelaskan dimulai dengan tebakan nilai awal. Setelah itu, fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya. dan terakhir menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-. Perpotongan dengan sumbu- ini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi.

Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ƒ ditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Dapat dilihat bahwa xn+1 adalah hampiran yang lebih baik daripada xnuntuk akar x dari fungsi f.

Jika suatu garis yang menyinggung ke kurva di memotong sumbu- di , maka kemiringannya adalah

Pada rumus di atas, melambangkan turunan dari fungsi . Dengan menyelesaikan , akan memberikanProses ini dimulai dengan nilai awal sembarang . Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa .

Nama "metode Newton" berasal dari karya milik Isaac Newton yang menjelaskan tentang kasus istimewa dari metode. Karya tersebut adalah De analysi per aequationes numero terminorum infinitas yang ditulis pada 1669, dan diterbitkan pada 1711 oleh William Jones; serta De metodis fluxionum et serierum infinitarum yang ditulis di tahun 1671, dan kemudian diterjemahkan dan diterbitkan sebagai Method of Fluxions di tahun 1736 oleh John Colson. Sayangnya, metode tersebut sangatlah berbeda daripada metode modern yang diberikan di atas. Metode yang digunakan Newton hanyalah polinomial, yang dimulai dari perkiraan akar awal dan menyaring barisan dari koreksi galat. Newton menggunakan setiap koreksi tersebut untuk menulis ulang polinomial dalam bentuk galat yang tersisa, dan kemudian menyelesaikan koreksi baru dengan mengabaikan suku-suku yang lebih tinggi. Newton dengan tegas tidak mengaitkan metode dengan turunan atau menyajikan rumus umum. Newton menerapkan metode ini pada masalah numerik dan aljabar, yang menghasilkan deret Taylor dalam kasus terakhir.

Ada kemungkinan bahwa metode yang dipakai Newton diambil dari metode milik Vieta, tetapi metode itu kurang akurat. Gagasan dasar tentang metode Vieta dapat ditemukan dalam karya seorang matematikawan berkebangsaan Persia yang bernama Sharaf al-Din al-Tusi, sedangkan penerusnya, Jamshīd al-Kāshī, menggunakan metode penyelesaian Newton untuk menemukan akar dari .[1] Kasus istimewa dari metode Newton untuk menghitung akar kuadrat telah dikenal sejak zaman kuno, dan metode tersebut kerapkali disebut metode Babilonia.

Metode Newton digunakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jepang yang bernama Seki Kōwa pada abad ke-17. Seki menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan persamaan variabel tunggal, meskipun tidak terdapat kaitannya dengan kalkulus.[2]

Metode Newton pertama kali diterbitkan dalam karya John Wallis pada tahun 1685, yang berjudul A Treatise of Algebra both Historical and Practical.[3] Pada tahun 1690, Joseph Raphson menerbitkan deskripsi yang disederhanakan dalam karyanya, Analysis aequationum universalis.[4] Raphson juga menerapkan metode ini hanya untuk polinomial, tetapi ia menghindari proses penulisan ulang Newton yang membosankan dengan menyaring setiap koreksi dari polinomial asli secara beruntun. Hal ini memungkinnya untuk mendapatkan ekspresi berulang yang dapat digunakan kembali untuk setiap masalah. Hingga pada tahun 1740, Thomas Simpson mendeskripsikan metode Newton sebagai metode berulang untuk menyelesaikan persamaan non-linear umum dengan menggunakan kalkulus. Dalam terbitan yang sama, Simpson juga memberikan perumuman untuk sistem dua persamaan, dan mencatat bahwa metode Newton dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan menetapkan gradien bernilai nol.

Arthur Cayley dalam karyanya The Newton–Fourier imaginary problem, yang diterbitkan di tahun 1879, adalah orang pertama yang menyadari kesulitan dalam memperumum metode Newton ke akar kompleks polinomial dengan derajat yang lebih besar dari 2, dan nilai awalan kompleks. Adanya perumuman tersebut dapat membuka jalan untuk mempelajari teori iterasi dari fungsi rasional.

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ (Ypma 1995)
  2. ^ "Chapter 2. Seki Takakazu". Japanese Mathematics in the Edo Period. National Diet Library. Diakses tanggal 24 Februari 2019. 
  3. ^ Wallis, John (1685). A Treatise of Algebra both Historical and Practical. Oxford: Richard Davis. doi:10.3931/e-rara-8842. 
  4. ^ Raphson, Joseph (1697). Analisis Æequationum Universalis (dalam bahasa Latin) (edisi ke-2nd). London: Thomas Bradyll. doi:10.3931/e-rara-13516. 

Referensi

[sunting | sunting sumber]

Further reading

[sunting | sunting sumber]

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]

Templat:Wikibooks category

Templat:Isaac Newton Templat:Algoritme pengoptimalan Templat:Algoritme pencarian root