Abstraksi (matematika)

Abstraksi di dalam matematika adalah proses untuk memperoleh intisari konsep matematika, menghilangkan kebergantungannya pada objek-objek dunia nyata yang pada mulanya mungkin saling terkait, dan memperumumnya sehingga ia memiliki terapan-terapan yang lebih luas atau bersesuaian dengan penjelasan abstrak lain untuk gejala yang setara.

Banyak cabang matematika dimulai dengan penelaahan masalah-masalah dunia nyata, sebelum aturan-aturan dan konsep-konsepnya diidentifikasi dan didefinisikan sebagai struktur abstrak. Misalnya, geometri bermula dari perhitungan jarak dan luas di dunia nyata; statistika bermula dari perhitungan peluang di dalam perjudian; dan aljabar bermula dengan metode penyelesaian masalah-masalah aritmetika.

Abstraksi adalah proses yang sinambung di dalam matematika dan pengembangan bersejarah dari banyak topik matematika yang memamerkan kemajuan dari hal yang konkret ke hal yang abstrak. Sebagai contoh, pengembangan bernilai sejarah dari geometri adalah; langkah pertama di dalam abstraksi geometri dibuat oleh orang Yunani kuno, dengan Elemen Euklides menjadi dokumentasi terdini dari aksioma-aksioma geometri bidang—meskipun Proclus berpendapat bahwa aksiomatisasi yang lebih dini dilakukan oleh Hippocrates dari Chios. Pada abad ke-17, Descartes memperkenalkan koordinat Kartesian yang mengikuti pengembangan geometri analitis. Langkah-langkah yang lebih jauh mengenai abstraksi dilakukan oleh Lobachevsky, Bolyai, Riemann, dan Gauss yang memperumum konsep-konsep geometri untuk mengembangkan geometri non-Euklides. Kemudian pada abad ke-19, para matematikawan memperumum geometri lebih luas lagi, mengembangkan cabang-cabang itu sebagai geometri pada dimensi n, geometri projektif, geometri afin, dan geometri hingga. Akhirnya "Program Erlangen" karya Felix Klein mengidentifikasi tema-tema geometri ini, medefinisikan tiap-tiap mereka sebagai penelaahan sifat-sifat invarian di bawah grup-grup simetri yang diberikan. Jenjang abstraksi ini menyibak keterkaitan yang mendalam di antara geometri dan aljabar abstrak.

Dua cabang paling abstrak dari matematika modern adalah teori kategori dan teori model.

Manfaat abstraksi adalah:

• Ia menyibak keterkaitan yang mendalam di antara cabang-cabang matematika
• Mengetahui hasil-hasil di dalam satu cabang yang dapat memicu konjektur pada cabang yang berkaitan
• Teknik dan metode dari satu cabang dapat diterapkan untuk membuktikan hasil pada cabang yang berkaitan

Kerugian utama abstraksi adalah bahwa konsep yang paling abstrak lebih sukar dipelajari, dan memerlukan tingkat kedewasaan dan pengalaman matematika sebelum mereka dapat dipadukan.