Invers aditif

Invers aditif (bahasa Inggris: additive inverse) dalam matematika adalah bilangan yang jika ditambahkan ke suatu variabel $a$ , menghasilkan bilangan nol. operasi ini juga dikenal sebagai "bilangan berlawanan" (opposite (number)), "perubahan tanda bilangan" (sign change), dan "negasi" (negation).^[1] Bagi suatu bilangan real, merupakan lawan tandanya: lawan dari suatu bilangan positif adalah bilangan negatif, dan lawan dari suatu bilangan negatif adalah bilangan positif. Bilangan nol adalah invers aditif bilangan itu sendiri.

Kebalikan aditif dari $a$ dilambangkan dengan unary minus: − $a$ (lihat diskusi di bawah). Misalnya, penjumlahan penjumlahan dari 7 adalah −7, karena 7 + (−7) = 0, dan penjumlahan penjumlahan dari −0,3 adalah 0,3, karena −0,3 + 0,3 = 0.

Invers aditif didefinisikan sebagai elemen invers di bawah operasi biner penambahan (lihat diskusi di bawah), yang memungkinkan generalisasi yang luas untuk objek matematika selain angka. Adapun operasi kebalikannya, double invers aditif memiliki tidak berpengaruh: $-(- x) = x$ .

Bilangan kompleks ini, dua dari delapan nilai ⁸√1, saling berlawanan

Contoh

Untuk suatu bilangan, dan umumnya dalam setiap gelanggang, invers aditif dapat dihitung dengan mengalikannya dengan bilangan −1; jadi, $- n = -1 \times n$ . Contoh-contoh gelanggang bilangan adalah bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks.

Hubungan dengan pengurangan

Invers aditif berhubungan erat dengan pengurangan, yang dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan lawannya:

a - b = a + (- b)

.

Sebaliknya, invers aditif dapat dipandang sebagai pengurangan dari nol:

- a = 0 - a

.

Jadi, notasi tanda minus unary dapat dipandang sebagai singkatan untuk pengurangan dengan menghilangkan tanda "0", meskipun dalam tipografi yang benar seharusnya tidak ada spasi setelah uner "−".

Sifat lain

Selain persamaan-persamaan di atas, negasi mempunyai sifat-sifat aljabar berikut:

$-(a + b) = (- a) + (- b)$
$a - (- b) = a + b$
$(- a) \times b = a \times (- b) = -(a \times b)$
$(- a) \times (- b) = a \times b$ , catatan bahwa $(- a) 2 = a 2$

Definisi formal

Notasi + biasanya disediakan untuk operasi biner komutatif, yaitu sedemikian rupa sehingga $x + y = y + x$ , for all $x$ , $y$ . Jika operasi seperti itu menerima elemen identitas $o$ (seperti $x + o ( = o + x) = x$ untuk semua $x$ ), maka elemen ( $o' = o' + o = o$ ). Untuk $x$ tertentu, jika terdapat $x'$ seperti $x + x' ( = x' + x) = o$ , maka $x'$ disebut additif invers dari $x$ .

Jika + adalah asosiatif ( $(x + y) + z = x + (y + z)$ untuk $x$ , $y$ , $z$ ), maka invers aditif adalah

x″ = x″ + o = x″ + (x' + x) = (x″ + x') + x = o + x = x

Misalnya, karena penjumlahan bilangan riil bersifat asosiatif, setiap bilangan riil memiliki invers penjumlahan unik.

Contoh lainnya

Semua contoh berikut ini sebenarnya grup abelian:

bilangan kompleks: $-(a + bi) = (- a) + (- b) i$ . Pada bidang kompleks, operasi ini memutar sebuah bilangan kompleks 180 derajat di sekitar asal (lihat tabel gambar above.
penambahan fungsi bernilai real dan kompleks: di sini, kebalikan aditif dari suatu fungsi $f$ adalah fungsi $f$ yang didefinisikan oleh $(- f)(x) = - f (x)$ , untuk semua $x$ , seperti $f + (- f) = o$ .
urutan, matriks dan jaring juga merupakan jenis fungsi khusus.
Dalam ruang vektor aditif invers -v sering disebut vektor kebalikan dari v; ia memiliki besaran yang sama dengan arah aslinya dan berlawanan. Pembalikan aditif sesuai dengan perkalian skalar dengan −1. Untuk ruang Euklides, adalah titik refleksi di titik asal. Vektor yang berada tepat di arah berlawanan (dikalikan dengan angka negatif) terkadang disebut sebagai antiparalel.
- ruang vektor
Dalam aritmetika modular, invers aditif modular dari $x$ juga ditentukan: itu adalah bilangan $a$ sehingga $a + x \equiv 0 (mod n)$ . Pembalikan aditif ini selalu ada. Sebagai contoh, inversi dari 3 modulo 11 adalah 8 karena merupakan solusi dari $3 + x \equiv 0 (mod 11)$ .

Bukan contoh

Bilangan asli, bilangan pokok, dan bilangan ordinal, tidak memiliki invers penjumlahan dalam masing-masing himpunan. Jadi, misalnya, kita dapat mengatakan bahwa bilangan asli do memiliki invers aditif, tetapi karena invers aditif ini sendiri bukan bilangan asli, himpunan bilangan asli tidak tertutup di bawah mengambil invers aditif.

Lihat pula

Nilai mutlak (berkaitan melalui persamaan $| - x | = | x |$ )
Invers multiplikatif
Identitas aditif
Involusi (matematika)
Simetri refleksi

Referensi

^ Istilah "negation" mengandung rujukan kepada bilangan negatif, dan hal ini tidak benar, karena invers aditif suatu bilangan negatif adalah bilangan positif.

Pustaka

(Inggris) Margherita Barile. "Additive Inverse". MathWorld.

[1] Istilah "negation" mengandung rujukan kepada bilangan negatif, dan hal ini tidak benar, karena invers aditif suatu bilangan negatif adalah bilangan positif.

[1]