Aljabar Bose–Mesner

Dalam matematika, aljabar Bose–Mesner merupakan himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif uniter. Kaidah tersebut berbunyi:

• Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
• ada matriks identitas dalam himpunan, dan
• darab matriksnya adalah komutatif.

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang fisika hingga model spin. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang statistika hingga desain eksperimen. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.

Definisi

Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R₁, ..., R_n sehingga:

• diberikan $x\in X$, jumlah dari $y\in X$ sehingga $\{x,y\}\in R_{i}$ hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan v_i, dan
• diberikan $x,y\in X$ dengan $\{x,y\}\in R_{k}$, jumlah dari $z\in X$ sehingga $\{x,z\}\in R_{i}$ dan $\{z,y\}\in R_{j}$ hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan $p_{in}^{k}$.

Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R₀. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan D_i adalah matriks yang didefinisikan sebagai:

$(D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{jika }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{jika tidak.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Lalu, misalkan ${\mathcal {A}}$ adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks $\sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}$ dengan kompleks $a_{i}$. Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa $D_{i}$ adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

1. $D_{i}$ adalah simetris,
2. $\sum _{i=0}^{n}D_{i}=J$ (semuanya adalah matriks satuan),
3. $D_{0}=I,$
4. $D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.$

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom $D_{i}$ mengandung 1 di $v_{i}$:

$D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)$

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa. $D_{0},\ldots ,D_{n}$ adalah bebas linear, dan dimensi ${\mathcal {A}}$ adalah $n+1$. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa ${\mathcal {A}}$ tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif ${\mathcal {A}}$ yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada ${\mathcal {A}}$ adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks $S$ sehingga untuk setiap $A\in {\mathcal {A}}$, terdapat matriks diagonal $\Lambda _{A}$ dengan $S^{-1}AS=\Lambda _{A}$. Hal ini mengartkan bahwa ${\mathcal {A}}$ adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif $J_{0},\ldots ,J_{n}$. Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.

$J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)$

$J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)$

$\sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)$

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten $D_{i}$, dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan $E_{k}$. Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

$D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)E_{k},\qquad (6)$

dan

$|X|E_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)$

Bilangan-p $p_{i}(k)$ dan bilangan-q $q_{k}(i)$ memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan $D_{i}$.

Teorema

Nilai eigen dari $p_{i}(k)$ dan $q_{k}(i)$, memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)$

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)$

Dan juga,

$\mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)$

Dalam notasi matriks,

$P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)$

dan

$Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)$

dengan $\Delta _{v}=\operatorname {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ dan $\Delta _{\mu }=\operatorname {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}.$

Bukti teorema

Nilai eigen dari $D_{i}D_{\ell }$ adalah $p_{i}(k)p_{\ell }(k)$ dengan perkalian $\mu _{k}$. Hal ini menyiratkan bahwa

$vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {trace} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)$

yang membuktikan Persamaan $\left(8\right)$ dan Persamaan $\left(11\right)$,

$Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)$

yang memberikan Persamaan $(9)$, $(10)$ dan $(12)$.$\Box$

Ada analogi antara perluasan skema asosiasi dan perluasan dari Medan berhingga. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-$n$ $X={\mathcal {F}}^{n}$ dari satu himpunan ${\mathcal {F}}$ dimana skema asosiasi $\left({\mathcal {F}},K\right)$ dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada $X={\mathcal {F}}^{n}$ disebut kuasa Kronecker ke-$n$ $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$ pada $\left({\mathcal {F}},K\right)$. Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama $X={\mathcal {F}}^{n}$ dengan mengumpulkan kelas $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$. Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial $F\left[X\right]$ yang pertama kali didefinisikan pada medan $\mathbb {F}$, sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.

Lihat pula

• Skema asosiasi

Referensi

• Bailey, Rosemary A. (2004), Association schemes: Designed experiments, algebra and combinatorics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 84, Cambridge University Press, hlm. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, MR 2047311 
• Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Algebraic combinatorics I: Association schemes, Menlo Park, CA: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., hlm. xxiv+425, ISBN 0-8053-0490-8, MR 0882540 
• Bannai, Etsuko (2001), "Bose–Mesner algebras associated with four-weight spin models", Graphs and Combinatorics, 17 (4): 589–598, doi:10.1007/PL00007251 
• Bose, R. C.; Mesner, D. M. (1959), "On linear associative algebras corresponding to association schemes of partially balanced designs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (1): 21–38, doi:10.1214/aoms/1177706356 , JSTOR 2237117, MR 0102157 
• Cameron, P. J.; van Lint, J. H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6 
• Camion, P. (1998), "Codes and association schemes: Basic properties of association schemes relevant to coding", dalam Pless, V. S.; Huffman, W. C., Handbook of coding theory, The Netherlands: Elsevier 
• Delsarte, P.; Levenshtein, V. I. (1998), "Association schemes and coding theory", IEEE Transactions on Information Theory, 44 (6): 2477–2504, doi:10.1109/18.720545 
• MacWilliams, F. J.; Sloane, N. J. A. (1978), The theory of error-correcting codes, New York: Elsevier 
• Nomura, K. (1997), "An algebra associated with a spin model", Journal of Algebraic Combinatorics, 6 (1): 53–58, doi:10.1023/A:1008644201287