Antiisomorfisme

Dalam cabang dari matematika bernama teori kategori, antiisomorfisme (atau anti-isomorfisme) antara himpunan terstruktur A dan B adalah isomorfisme dari A ke lawan dari B. Ini juga ekuivalen dengan pernyataan bahwa kedua himpunan terstruktur tersebut isomorfisme dari lawan dari A ke B. Himpunan-himpunan tersebut dikatakan anitiisomorfik jika terdapat antiisomorfisme antara dua struktur. Secara intuitif, mengatakan bahwa dua struktur matematika adalah antiisomorfik berarti bahwa kedua struktur tersebut pada dasarnya berlawanan satu sama lain. Konsep ini sangat berguna ketika diterapkan pada gelanggang.

Contoh sederhana

Misalkan A adalah relasi biner (atau graf berarah) yang terdiri dari anggota {1,2,3} dan relasi biner $\rightarrow$ yang didefinisikan sebagai berikut:

• $1\rightarrow 2,$
• $1\rightarrow 3,$
• $2\rightarrow 1.$

Misalkan B adalah himpunan relasi biner yang terdiri dari anggota {a,b,c} dan relasi biner $\Rightarrow$ yang didefinisikan sebagai berikut:

• $b\Rightarrow a,$
• $c\Rightarrow a,$
• $a\Rightarrow b.$

Perhatikan bahwa lawan dari B (dilambangkan B^op) adalah himpunan dari anggota yang sama dengan relasi biner yang berlawanan $\Leftarrow$ (yaitu, membalikkan semua busur dari grafik berarah):

• $b\Leftarrow a,$
• $c\Leftarrow a,$
• $a\Leftarrow b.$

Jika a, b, dan c diganti dengan 1, 2, dan 3, maka dapat dilihat bahwa masing-masing aturan pada B^op sama dengan beberapa aturan A. Hal ini mengartikan bahwa isomorfisme $\phi$ dapat didefinisikan dari A ke B^op dengan $\phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c$. $\phi$ merupakan antiisomorfisme antara A dan B.

Anti-isomorfisme gelanggang

Dengan mengkhususkan bahasa umum dari teori kategori mengenai topik aljabar gelanggang, maka diperoleh pernyataan berikut: Misalkan R dan S adalah gelanggang dan f: R → S adalah pemetaan bijeksi. Maka f adalah anti-isomorfisme gelanggang, jika

$f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{dan}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{untuk semua }}x,y\in R.$

Jika R = S, maka f adalah anti-automorphism gelanggang.

Contoh anti-automorfisme gelanggang dinyatakan sebagai pemetaan konjugat kuaternion:

$x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .$

Referensi

• Baer, Reinhold (2005) [1952], Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, ISBN 0-486-44565-8 
• Jacobson, Nathan (1948), The Theory of Rings, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1502-4 
• Pareigis, Bodo (1970), Categories and Functors, Academic Press, ISBN 0-12-545150-4