Faktorisasi prima

Gambar di atas menunjukkan proses faktorisasi angka 864.

Masalah yang belum terpecahkan dalam Ilmu komputer:

Apakah faktorisasi prima bisa dicapai dalam waktu polinomial?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam Ilmu komputer)

Faktorisasi prima adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilangan-bilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Contohnya, faktorisasi prima bilangan 84 adalah 2x2x3x7, di mana bilangan 2, 3 dan 7 adalah bilangan prima dan bilangan pembagi 84.

Sampai sekarang ini masih belum ditemukan algoritme faktorisasi non-kuantum yang efisien. Suatu percobaan faktorisasi bilangan dengan 232 digit yang dilaksanakan pada tahun 2009 oleh beberapa ilmuwan berlangsung selama 2 tahun dengan ratusan komputer. Sifat matematis ini adalah dasarnya algoritme enkripsi berkunci publik RSA. Karena sampai sekarang ini masih belum diketahui teknik untuk mendapatkan hasil faktorisasi prima yang cepat dan efisien, maka enkripsi RSA tergolong sangat aman dan hanya bisa dipecahkan dengan cara paksa (brute force) yang harus memakan waktu bertahun-tahun. Jika pada suatu hari telah ditemukannya algoritme yang mampu memecahkan masalah faktorisasi dalam waktu polinomial, semua enkripsi RSA akan langsung menjadi tidak aman.

Dua bilangan berbeda yang memiliki jumlah digit yang sama tidak sama sukar difaktorisasi. Menurut pengetahuan matematis sekarang, bilangan yang paling sulit difaktorisasi adalah bilangan semiprima (yaitu hasil perkalian dua bilangan prima).

Contoh

• Tentukan faktor, faktor prima dan faktorisasi prima dari bilangan 18!

Faktor: 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

Faktor prima: 2 dan 3.

Faktorisasi prima: 2 dan 3².

• Tentukan hasil dari ${\sqrt[{3}]{9.261}}$ dan ${\sqrt[{4}]{16}}$!

${\sqrt[{3}]{9.261}}$

Faktorisasi prima dari 9.261 adalah 3³ dan 7³ maka hasilnya adalah 7 x 3 = 21.

${\sqrt[{4}]{16}}$

Faktorisasi prima dari 16 adalah 2⁴ maka hasilnya adalah 2.

Algoritme

Berikut adalah beberapa contoh algoritme faktorisasi prima:

• Percobaan pembagian (Trial division): Algoritme yang lamban namun mudah dimengerti. Angka n yang perlu difaktorkan dibagi bulat dengan bilangan yang lebih besar dari 1 dan lebih kecil dari n.
• Faktorisasi roda: Menggunakan Saringan Eratosthenes.
• Algoritme rho Pollard: Ditemukan oleh John Pollard pada tahun 1975.
• Faktorisasi kurva eliptik Lenstra
• Faktorisasi Euler