Fungsi Weierstrass

Plot dari fungsi Weierstrass pada selang [−2, 2]. Seperti fraktal lainnya, fungsi ini menunjukkan kesamaan-diri: setiap bagian dari grafik (lingkaran merah) akan mirip dengan bentuk grafik fungsi seluruhnya.

Dalam matematika, fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi bernilai real yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Fungsi ini adalah contoh sebuah fungsi fraktal. Fungsi ini dinamakan dengan nama penemunya, Karl Weierstrass.

Fungsi Weierstrass muncul sebagai fungsi "diluar nalar", pertama kali diterbitkan (1872) sebagai sebuah contoh untuk menantang konsep bahwa semua fungsi kontinu akan terdiferensialkan kecuali pada himpunan titik pencil. Bukti Weierstrass bahwa kekontinuan tidak menyiratkan keterdiferensial hampir-dimanapun memutar-balikkan ilmu matematika, menggulingkan beberapa pembuktian yang berdasar pada intuisi geometris dan definisi kemulusan yang rancu. Jenis fungsi ini dikecam oleh beberapa matematikawan semasa itu: Henri Poincaré dikenal dengan mengutarakan fungsi tersebut sebagai "monster" dan menyebut karya Weierstrass' sebagai "sebuah kemarahan terhadap akal sehat", sedangkan Charles Hermite menulis bahwa fungsi itu "bencana yang menyedihkan". Fungsi Weierstrass tidak dapat divisualisasikan sampai kemunculan komputer di abad selanjutnya. Fungsi ini tidak diterima secara luas sampai saat diterapkan untuk model gerak Brown yang memerlukan fungsi yang bergerigi dengan jumlah tak hingga (saat ini dikenal sebagai fungsi fraktal).

Konstruksi

Animasi berdasarkan kenaikan nilai b dari 0,1 ke 5.

Dalam makalah asli Weierstrass, fungsi ini didefinisikan sebagai sebuah deret pangkat:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

dengan $0<a<1$, $b$ adalah bilangan ganjil positif, dan

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

Nilai minimum $b$ sehingga ada $0<a<1$ yang memenuhi syarat tersebut adalah $b=7$. Definisi ini, beserta bukti bahwa fungsi tidak terdiferensialkan pada sembarang selang, disampaikan oleh Weierstrass dalam sebuah makalah yang disajikan untuk Akademi Sains Prusia pada 18 Juli 1872.

Walaupun tidak terdiferensialkan, fungsi ini kontinu. Suku-suku yang mendefinisikan jumlah tak-hingga terbatas oleh $\pm a^{n}$, yang memiliki nilai yang hingga untuk $0<a<1$. Jenis konvergensi dari jumlah suku-suku ini adalah seragam lewat uji-M Weierstrass dengan $M_{n}=a^{n}$. Karena setiap jumlah parsial bersifat kontinu, dengan teorema limit seragam dapat ditunjukkan $f$ kontinu. Terlebih lagi, karena setiap jumlah parsial kontinu seragam, fungsi $f$ juga kontinu seragam.

Dapat dibayangkan bahwa sebuah fungsi kontinu harus memiliki turunan, atau bahwa himpunan titik yang tak terdiferensialkan harus terhitung (baik hingga atau tak hingga). Berdasarkan Weierstrass di makalahnya, banyak matematikawan di masa lalu, termasuk Gauss, sering mengasumsikan intuisi tersebut benar. Hal tersebut mungkin diakibatkan karena sulitnya menggambar atau membayangkan sebuah fungsi kontinu yang himpunan titik tak terdiferensialkannya tak terhitung.

Kekontinuan Hölder

Fungsi Weierstrass lebih nyaman untuk ditulis ulang sebagai

$W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)$

Untuk $\alpha =-{\tfrac {\ln(a)}{\ln(b)}}$. Fungsi $W_{\alpha }(x)$ selanjutnya dapat ditunjukkan kontinu Hölder pangkat $\alpha$, yang mengartikan ada konstanta $C$ sehingga

$|W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$

untuk setiap $x$ dan $y$. Lebih lanjut, $W_{1}$ kontinu Hölder untuk semua pangkat $\alpha <1$ tapi tidak kontinu Lipschitz.

Daftar pustaka

• David, Claire (2018), "Bypassing dynamical systems : A simple way to get the box-counting dimension of the graph of the Weierstrass function", Proceedings of the International Geometry Center, Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53–68, doi:10.15673/tmgc.v11i2.1028  
• Falconer, K. (1984), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge Tracts in Mathematics, Book 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26, diakses tanggal 2022-03-17 
• Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John M. H. (2003) [1964], Counterexamples in Analysis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26, diakses tanggal 2022-03-17 
• Hardy, G. H. (1916), "Weierstrass's nondifferentiable function" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 17 (3): 301–325, doi:10.2307/1989005, JSTOR 1989005, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2022-08-28, diakses tanggal 2022-03-17 
• Weierstrass, Karl (18 July 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften 
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass, 2, Berlin, Germany: Mayer & Müller, hlm. 71–74 
  • Versi bahasa Inggris: Edgar, Gerald A. (1993), "On continuous functions of a real argument that do not possess a well-defined derivative for any value of their argument", Classics on Fractals, Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company, hlm. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2