Grup simetrik

Grup simetrik dari bentuk geometri adalah grup dengan kekongruenan yang bersifat invarian dan mempunyai fungsi komposisi sebagai operasinya.

Dalam geometri Euclid. grup simetri yang diskrit terbagi kedalam dua jenis yaitu grup titik finit yang hanya meliputi rotasi dan refleksi (pencerminan) sedangkan grup lattice infinit tidak hanya rotasi dan refleksi tetapi ditambah dengan translasi dan refleksi geser. Ada juga grup simetri kontinu yang memiliki rotasi dengan perubahan sudut yang kecil dan translasi dengan perubahan jarak yang kecil. Grup dari semua simetri bentuk bola SO (3) (special orthogonal group) adalah contoh dari grup simetri kontinu, secara umum grup simetri kontinu dipelajari sebagai grup Lie (menunjukkan struktur analisis).

Jika bentuk geometrinya terbatas, semua elemen dari grup simetri hanya mempunyai satu fixed point (pengoperasian dengan input = output) yang sama.

Dua Dimensi

Grup titik diskrit pada ruang dua dimensi dapat dibagi ke dalam dua kelompok infinit.

Grup siklik C1, C2, C3, ....., Cn, di mana Cn adalah rotasi dengan sudut 360/n
Grup dihedral D1, D2, D3, ...., Dn, di mana Dn adalah rotasi pada Cn bersamaan dengan refleksi pada n sumbu yang melalui fixed point

Pada kasus n=1 (simetri rendah), diketahui bahwa C1 adalah grup yang hanya memiliki operasi identitas dan itu terjadi jika bentuk geometrinya tidak memiliki operasi simetri sama sekali. D1 adalah grup dengan dua elemen yang memiliki satu sumbu simetri bilateral. Grup dihedral D3, D4, .... adalah grup yang termasuk kedalam poligon reguler.

Dengan bentuk geometri yang terbatas dan tertutup secara topologi (merupakan grup titik yang sempurna), kemungkinan lainnya adalah grup SO (2) yang memiliki semua rotasi pada fixed point dan refleksi pada berbagai sumbu yang melalui fixed point-nya. Keadaan akhir (penutup) pada bentuk di atas adalah bidang yang dapat dianggap "bentuk geometri" sebagaimana set dari semua poin dalam bundaran unit dengan koordinat rasional. Grup simetri dari set tadi mempunyai beberapa (tidak semua), hanya rotasi dengan perubahan sudut yang kecil.

Untuk bentuk geometri tak terbatas, grup simetri dapat memiliki translasi dan memungkinkan tujuh belas wallpaper group dan tujuh friezer group

Contoh:

xxx         xxx                xxx         x
  xx        x x                x          xxx
  x         x x              xxx           x

 C1          D1              C2            D4

Tiga Dimensi

Pembahasan pada ruang tiga dimensi ini lebih rumit dibanding pembahsan sebelumnya sejak mempunyai kemungkinan berbagai sumbu rotasi pada grup titik. Pertama, terdapat grup trivial dengan tiga jenisnya yaitu C3 (Clh), Ci, dan C2 yang mempunyai satu operasi simetri refleksi pada bidang, pada titik simetri, dan pada garis (sama dengan rotasi sejauh 180)

Ada yang dinamakan dengan grup uniaksial Cn, yang dirotasikan dengan sudut sejauh 360/n. Dapat juga terdapat sebuah cermin yang tegak lurus terhadap sumbu utama, dinamakan Cnh, atau set dari n bidang sumbu yang sejajar sumbu simetri, dinamakan Cnv.

Jika pada grup itu terdapat bidang cermin horisontal dan vertikal, maka ada n sumbu rotasi sejauh 180, tidak lagi dinamakan grup uniaksial tetapi grup Dnh. Subgrup rotasi yang disebut Dn tetap mempunyai sumbu rotasi (2) yang tegak lurus sumbu rotasi utama (tanpa bidang cermin). Grup lain yaitu Dnd (atau Dnv) yang bidang cermin vertikalnya mempunyai sumbu rotasi utama tapi terletak setengah dari jarak kedua sumbu, maka bidang yang tegak lurus itu tidak terletak di sana. Dnh dan Dnd merupakan grup simetri untuk bentuk umum dari prisma dan antiprisma, Dn adalah grup simetri dari prisma terotasi parsial.

Grup lain pada ruang tiga dimensi adalah Sn, dengan rotasi improper sejauh 360/n, operasi rotasi diikuti dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus pada sumbu simetrinya. Untuk n ganjil, rotasi dan refleksinya menghasilkan bentuk geometri yang sama, dapat pula disebut Cnh, keadaan ini tidak berlaku sama untuk n yang genap.

Dalam grup simetri, ada yang dikenal dengan simetri tinggi atau simetri polihedral karena grup ini mempunyai lebih dari satu sumbu rotasi. Dengan menggunakan Cn sebagai sumbu rotasi yang melalui 360/n dan Sn sebagai sumbu rotasi improper dengan sudut yang sama pula, ada beberapa grup dalam simetri tinggi ini, di antaranya:

T (tetrahedral), mempunyai 4 sumbu C3 yang melewati titik ujung dari kubus, 3 sumbu C2 yang melewati pusat melalui muka kubus. Tidak ada operasi simetri lain, grup ini adalah isomorfik dengan A4, sebuah alternating group
Td, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan 6 bidang cermin, masing-masing memiliki satu sumbu C2 (dapat juga disebut S4) dan 4 sumbu C3, merupakan grup simetri tetrahedral, Td isomorfik dengan S4
Th, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan bidang cermin yang masing-masing memiliki 2 sumbu C2 dan tidak memiliki sumbu C3 (dapat disebut sumbu S6), mempunyai titik inversi, Th isomorfik dengan A4 x C2
O (oktahedral), mirip dengan T, sumbu C2 = sumbu C4, sumbu C2 melewati ujung pinggir kubus, O isomorfik denagn S4
Oh, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu O, tetapi dengan bidang cermin (tidak lain adalah Td dan Th). Oh isomorfik dengan S4 x C2, grup simetri dari dari kubus dan oktahedron
I, Ih (ikosahedral), grup simetri dari ikosahedron dan dodekahedron. Grup dengan rotasi proper (layak) I adalah subgrup normal dari indeks 2 pada grup (lengkap) dari simetri dengan I isomorfik dengan A5, alternating group Ih adalah A5 x C2

Grup Simetri (umum)

Dalam konteks yang lebih luas, grup simetri merupakan bagian dari grup transformasi atau grup automorfism. Ketika kita mengetahui struktur matematika yang kita dalami, kita dapat mengetahui pemetaan dari struktur itu. Simetri dapat mengartikan struktur, atau dapat dituliskan sebagai invarian, bahasa geometri yang merupakan salah satu media untuk mengenal program Erlangen.

Topik yang Berhubungan

Simetri
Aksi grup
Grup kristal
- grup titik kristal
- grup ruang

Elemen

Unsur-unsur dari grup simetris pada himpunan X adalah permutasi dari X .

Perkalian

Operasi grup dalam grup simetris adalah komposisi fungsi, dilambangkan dengan simbol ∘ atau hanya dengan penjajaran permutasi. Komposisi f ∘ g dari permutasi f dan g , dilafalkan " f dari g ", memetakan setiap elemen x dari X ke f(g(x)). Secara konkret, mari (lihat permutasi untuk penjelasan tentang notasi):

f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}

g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.

Menerapkan f setelah g memetakan 1 pertama ke 2 dan kemudian 2 ke dirinya sendiri; 2 sampai 5 dan kemudian ke 4; 3 ke 4 lalu ke 5, dan seterusnya. Jadi menyusun f dan g memberi

fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.

Siklik dengan panjang L = k · m, dibawa ke daya k , akan terurai menjadi siklus k dengan panjang m : Misalnya, (k = 2, m = 3),

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).

Verifikasi aksioma grup

Untuk memeriksa bahwa grup simetris pada himpunan X memang sebuah grup, perlu untuk memverifikasi aksioma grup penutupan, asosiasi, identitas, dan invers.^[1]

Operasi komposisi fungsi ditutup dalam set permutasi dari himpunan X yang diberikan.
Komposisi fungsi selalu asosiatif.
Trivial bijeksi yang menetapkan setiap elemen X untuk dirinya sendiri berfungsi sebagai identitas untuk grup.
Setiap bijeksi memiliki fungsi invers yang membatalkan aksinya, dan dengan demikian setiap elemen dari kelompok simetris memiliki invers yang juga merupakan permutasi.

Kelas konjugasi

Kelas konjugasi dari S_n sesuai dengan struktur siklus permutasi; yaitu, dua elemen S_n terkonjugasi S_n jika dan hanya jika terdiri dari jumlah siklus pemutusan yang sama dengan panjang yang sama. Misalnya, dalam S₅, (1 2 3)(4 5) dan (1 4 3) (2 5) adalah konjugasi; (1 2 3) (4 5) dan (1 2) (4 5) tidak. Elemen konjugasi dari S_n dapat dibangun dalam "notasi dua baris" dengan menempatkan "notasi siklus" dari dua permutasi konjugasi di atas satu sama lain. Melanjutkan contoh sebelumnya:

k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}}

yang dapat dituliskan sebagai hasil kali siklus yaitu: (2 4).

Permutasi ini kemudian menghubungkan (1 2 3) (4 5) dan (1 4 3) (2 5) melalui konjugasi, yaitu,

(2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).

Jelas bahwa permutasi semacam itu tidak unik.

Catatan

^ Vasishtha, A. R.; Vasishtha, A. K., Modern Algebra, Krishna Prakashan Media

Referensi

Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups, London Mathematical Society Student Texts, 45, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65378-7
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics, 163, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Kaloujnine, Léo (1948), "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 65: 239–276, ISSN 0012-9593, MR 0028834, diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-12-05, diakses tanggal 2020-12-19
Kerber, Adalbert (1971), Representations of permutation groups. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240, 240, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, MR 0325752
Liebeck, M.W.; Praeger, C.E.; Saxl, J. (1988), "On the O'Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups", Journal of the Australian Mathematical Society, 44 (3): 389–396, doi:10.1017/S144678870003216X 
Nakaoka, Minoru (March 1961), "Homology of the Infinite Symmetric Group", Annals of Mathematics, 2, Annals of Mathematics, 73 (2): 229–257, doi:10.2307/1970333, JSTOR 1970333
Netto, Eugen (1882), Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra (dalam bahasa Jerman), Leipzig. Teubner, JFM 14.0090.01
Scott, W.R. (1987), Group Theory, New York: Dover Publications, hlm. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8
Schur, Issai (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139: 155–250, doi:10.1515/crll.1911.139.155
Schreier, Józef; Ulam, Stanislaw (1936), "Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge" (PDF), Fundamenta Mathematicae (dalam bahasa Jerman), 28: 258–260, Zbl 0016.20301, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-06-06, diakses tanggal 2020-12-19

[1] Vasishtha, A. R.; Vasishtha, A. K., Modern Algebra, Krishna Prakashan Media

[1]