Hukum Betz

Skematik dari fluida yang mengalir melewati penggarit piringan. Untuk massa jenis fluida konstan, luas penampang lintang berhubungan kebalikan dengan kecepatan aliran.

Dalam aerodinamika, Hukum Betz memberikan daya maksimum yang dapat diekstrak dari angin, apapun desain turbin angin yang digunakan pada aliran terbuka. Hukum ini dipublikasikan pada tahun 1919 oleh seorang fisikawan Jerman yaitu Albert Betz. Hukum ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum dari aliran angin melewati penggarit piringan ideal untuk menangkap dan mengonversi tenaga angin dari aliran tersebut. Menurut hukum Betz, tidak ada turbin angin apapun yang dapat menangkap energi lebih dari 16/27 atau 59,3% dari energi kinetik angin tersebut. Faktor 16/27 ini disebut sebagai koefisien Betz. Secara praktik, turbin angin yang ada sekarang mencapai efisiensi sebesar 50% dari keseluruhan energi angin.

Konsep

Seluruh fluida Newtonian, termasuk angin, tunduk pada hukum Betz. Jika seluruh energi kinetik angin dapat diekstrak oleh penggarit, maka kecepatan angin akan 0 setelah melewati penggarit. Hal ini akan memblokade adanya pergerakan angin untuk melewati penggarit tersebut. Maka, untuk membiarkan angin melewati turbin atau penggarit, harus ada kecepatan angin lebih dari 0 setelah melewati penggarit. Oleh karena pengurangan kecepatan ini, aliran udara harus terdistribusi kepada kepada area yang lebih luas. Maka dari itu, geometri membatasi efisiensi maksimum yang dapat dicapai oleh turbin.

Penemuan independen

Sebelum Albert Betz, ilmuwan Inggris bernama Frederic W. Lanchester menurunkan koefisien yang sama pada tahun 1915. Selain itu, kepala sekolah aerodinamika Rusia, Nikolay Zhukowsky, juga mempublikasikan hasil yang sama pada tahun 1920. Maka dari itu, hukum Betz merupakan salah satu contoh hukum Stigler, yang menyebutkan bahwa tidak ada penemuan ilmiah yang dinamakan berdasar penemu aslinya.

Pembuktian

Penghitungan efisiensi maksimum dari rotor tipis (misalnya turbin angin) dapat diimajinasikan dengan keberadaan piringan yang dapat mengekstrak energi dari fluida yang melewatinya. Kecepatan dari fluida setelah melewati piringan tersebut berkurang namun tidak menjadi nol.

Asumsi

1. Piringan tersebut ideal. Maka, piringan tersebut dapat diasumsikan sebagai turbin dengan jumlah bilah tak hingga dan tidak memiliki gaya hambat.
2. Model yang digunakan adalah model satu dimensi, yang berarti aliran masuk dari satu lokasi dan keluar pada lokasi lainnya, dengan seluruh kecepatan seragam secara melintang. Analisis yang digunakan adalah analisis volume atur, yaitu volume atur tersebut harus memuat seluruh aliran yang masuk dan keluar untuk menggunakan persamaan kekekalan.
3. Aliran yang digunakan adalah aliran tak-termampatkan; massa jenis konstan dan tidak ada perpindahan panas.
4. Tekanan seragam diaplikasikan pada piringan.

Pengaplikasian hukum kekekalan massa

Dengan menggunakan hukum kekekalan massa (kontinuitas), laju alir massa pada volume atur harus konstan, yaitu:

$${\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},$$

dengan ${\textstyle v_{1}}$ adalah kecepatan di depan atau hulu rotor; ${\textstyle v_{2}}$ adalah kecepatan di belakang atau hilir rotor; ${\textstyle v}$ adalah kecepatan perangkat daya fluida; ${\textstyle \rho }$ adalah massa jenis fluida; ${\textstyle S}$ adalah area turbin; dan ${\textstyle A_{1}}$ dan ${\textstyle A_{2}}$ adalah area fluida sebelum dan sesudah turbin.

Hasil kali massa jenis, area, dan kecepatan harus sama pada tiga daerah: sebelum, saat, dan setelah melewati turbin.

Gaya yang diaplikasikan ke angin dari rotor adalah massa dari udara dikalikan dengan akselerasinya: $${\begin{aligned}F&=ma\\&=m{\frac {dv}{dt}}\\&={\dot {m}}\,\Delta v\\&=\rho Sv(v_{1}-v_{2}).\end{aligned}}$$

Daya dan usaha

Peningkatan usaha oleh gaya dapat ditulis sebagai:

$$dE=F\,dx,$$

dan tenaga angin dapat ditulis sebagai:

$$P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.$$

Masukkan gaya ${\textstyle F}$ yang dihitung di atas kepada persamaan daya dapat memberikan daya yang diekstrak dari angin, yaitu:

$$P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).$$

Namun, daya juga dapat dihitung dengan menggunakan energi kinetik. Dengan mengaplikasikan persamaan kekekalan energi ke kontrol atur menghasilkan:

$$P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).$$

Memasukkan laju alir massa dari persamaan kontinuitas menghasilkan:

$$P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).$$

Kedua persamaan daya tersebut adalah valid. Menyamakan kedua ekspresi persamaan tersebut akan menghasilkan:

$$P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).$$

Massa jenis tidak dapat bernilai 0 pada seluruh ${\textstyle v}$ dan ${\textstyle S}$. Maka,

$${\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),$$

atau

$$v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).$$

Kecepatan konstan sepanjang rotor dapat diartikan sebagai rerata kecepatan hulu dan hilir. Ini menjadi tahap kontra intuitif pada penurunan hukum Betz. Hal ini konsekuensi langsung dari asumsi "aliran aksial" (asumsi kedua), yang tidak memperbolehkan adanya massa radial mengalir pada area penggarit piringan. Dengan tidak adanya massa yang keluar dan diameter yang konstan, maka kecepatan udara tidak dapat berubah pada area interaksi. Maka, tidak ada energi yang dapat diekstrak selain di depan dan belakang area interaksi, yang menetapkan kecepatan udara di penggarit piringan menjadi rerata. Menghilangkan pembatasan ini mungkin dapat menghasilkan performa yang lebih baik dari yang diperbolehkan oleh hukum Betz, tapi efek radial lainnya juga harus dipertimbangkan. Efek kecepatan konstan ini berbeda dari kehilangan energi kinetik radial yang juga diabaikan.

Hukum Betz dan koefisien performa

Kembali pada ekspresi persamaan daya yang menggunakan energi kinetik:

${\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}$

Sumbu horizontal memperlihatkan rasio ${\textstyle v_{2}/v_{1}}$, sementara sumbu vertikal adalah koefisien daya ${\textstyle C_{P}}$.

Dengan menurunkan ${\textstyle P}$ terhadap ${\textstyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}}$ untuk kecepatan fluida ${\textstyle v_{1}}$ pada area ${\textstyle S}$, dapat dicari nilai maksimum maupun minimum dari ${\textstyle P}$. Hasilnya adalah ${\textstyle P}$ mencapai nilai maksimum saat ${\textstyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$.

Memasukkan nilai ini akan menghasilkan:

$$P_{\text{maks}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Daya yang bisa didapat dari tabung fluida dengan luas penampang ${\textstyle S}$ dan kecepatan ${\textstyle v_{1}}$ adalah:

$$P=C_{\text{P}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Daya referensi untuk perhitungan efisiensi Betz adalah daya pada fluida yang bergerak pada tabung dengan luas penampang ${\textstyle S}$ dan kecepatan ${\textstyle v_{1}}$ adalah:

$$P_{\text{angin}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.$$

Koefisien daya adalah rasio tanpa dimensi untuk daya yang dapat diekstrak ${\textstyle P}$ ke daya kinetik ${\textstyle P_{\text{angin}}}$. Koefisien daya ini memiliki nilai maksimum ${\textstyle C_{P_{\text{maks}}}=16/27={\text{0,593}}}$ (atau 59,3%, tapi koefisien performa biasanya ditulis dalam desimal dan bukan persentase). Hasil ekspresi koefisien daya adalah:

$$C_{P}\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)$$

Saat kecepatan udara tinggi, turbin memutar bilahnya kepada ${\textstyle C_{P}}$ yang lebih rendah untuk melindungi dari kerusakan. Daya angin meningkat hingga 8 kali dari kecepatan 12,5 hingga 25 m/s, jadi ${\textstyle C_{P}}$ harus turun hingga 0,06 saat kecepatan angin 25 m/s.

Batas atas turbin angin

Meskipun sering dikatakan sebagai batas atas definitif (misalnya oleh Shinde, dkk dan Wind Power Program), hukum Betz sebenarnya bukan batas atas absolut dari efisiensi turbin. Walaupun terdapat judul menyesatka dalam artikelnya, Betz maupun Lanchester tidak pernah memberikan klaim tanpa kondisi tersebut. Penggarit piringan yang diletakkan pada hilir penggarit lainnya dapat mengekstrak tambahan daya yang menyebabkan sistem penggarit ganda ini dapat melebihi batasan Betz. Penggarit kedua dapat, tapi tidak harus, berada di bidang jauh dari zona angin (dengan garis arus paralel) agar hal ini dapat terjadi.

Pengecualian ini dapat terjadi oleh karena asumsi keseragaman kecepatan secara melintang dalam garis arus. Misalnya, dalam penggarit ganda yang disebutkan di atas, turbin angin hilir memiliki profil kecepatan angin melintang dengan dua kecepatan yang berbeda, yang artinya tidak terikat pada batasan penggarit tunggal.

Secara matematik, penurunan untuk penggarit tunggal menyematkan asumsi secara implisit bahwa angin tidak mengubah kecepatannya saat angin tersebut mengalir melewati penggarit sangat tipis. Padahal, pada sistem penggarit ganda hibrida, kecepatan angin berubah saat melewati penggarit tersebut. Ini terjadi karena jika tidak, maka kekekalan fluks tidak akan terjadi. Namun, dalam sistem hibrida ganda, fluks dapat dikeluarkan (dari penampang) di antara penggarit yang memperbolehkan perbedaan kecepatan angin saat keluar dan masuk sistem.

Penelitian modern juga telah menunjukkan bahwa terdapat batas atas yang lebih tinggi, yaitu ⅔ yang dapat dicapai saat "asumsi yang tidak diperlukan" dalam penurunan hukum Betz dihilangkan.

Pengembangan modern

Pada tahun 1934, Hermann Glauert menurunkan ekspresi untuk efisiensi turbin, saat komponen sudut dari kecepatan diikutsertakan, dengan mengaplikasikan keseimbangan energi di sepanjang bidang rotor. Dengan model ini, Glauert mendapatkan efisiensi di bawah batas Betz, dengan efisiensi mendekati batas tersebut seiring rasio kecepatan ujung mendekati tak hingga.

Pada tahun 2001, Gorban, Gorlov, dan Silantyev memperkenalkan model yang dapat diselesaikan (GGS) yang mempertimbangkan distribusi tekanan tak seragam dan aliran lengkung pada bidang turbin (masalah yang tidak dimasukkan pada pendekatan Betz). Mereka menggunakan modifikasi model Kirchhoff yang mendiskripsikan adanya kemunculan turbulensi di belakang penggarit sebagai arus "rusak" dan menggunakan persamaan Euler di luar area arus rusak tersebut. Model GGS ini memprediksi efisiensi maksimum yang dapat tercapai adalah sekitar 61% dari keseluruhan aliran, mirip dengan hasil Betz yang bernilai ⅔ untuk aliran yang menghasilkan efisiensi puncak. Namun, model GGS memprediksi efisiensi puncak ini jauh lebih kecil, berada pada nilai 30,1%.

Pada tahun 2008, perhitungan berdasarkan kekentalan pada dinamika fluida komputasi diaplikasikan model turbin angin. Perhitungan ini mendemonstrasikan kesepakatan dengan hasil eksperimen. Efisiensi optimal yang dihitung, secara tipikal, berada di antara batas Betz dan solusi GGS.

Pranala luar

• Pierre Normandajc Lecanu, Joel Breard, Dominique Mouazé. Simplified theory of an active lift turbine with controlled displacement. 2016.