Identitas Ward–Takahashi

Dalam teori medan kuantum, Identitas Ward–Takahashi merupakan identitas pada fungsi korelasi yang mengikuti simetri global atau gauge dari teori tersebut, yang tetap menjadi valid setelah renormalisasi.

Identitas Ward–Takahashi dari elektrodinamika kuantum pada awalnya digunakan oleh John Clive Ward dan Yashushi Takahashi untuk menghubungkan fungsi renormalisasi gelombang elektron dengan faktor sumbu renormalisasi, yang menjamin pengurangan divergensi ultraviolet untuk semua tingkatan teori perturbasi. Penggunaan selanjutnya mencakup perluasan bukti teorema Goldstone ke seluruh tingkatan teori perturbasi.

Identitas Ward–Takahashi

Identitas Ward–Takahashi berlaku untuk seluruh fungsi korelasi dalam ruang momentum, yang tidak memerlukan momentum luar on shell. Misalkan

${\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})$

adalah sebuah fungsi korelasi QED yang melibatkan foton eksternal dengan momentum k (dimana $\epsilon _{\mu }(k)$ adalah vektor polarisasi dan penjumlahan dari $\mu =0,\ldots ,3$), n-kondisi awal elektron dengan momentum $p_{1}\cdots p_{n}$ dan n-kondisi akhir elektron dengan momentum $q_{1}\cdots q_{n}$. Ditentukan pula bahwa ${\mathcal {M}}_{0}$ merupakan amplitudo sederhana yang didapatkan melalui penghilanagn foton dengan momentum k dari awal amplitudo. Maka, Identitas Ward–Takahashi adalah:

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.$

$\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]$

dimana e adalah muatan elektron yang memiliki tanda negatif. Catatan bahwa jika ${\mathcal {M}}$ memiliki elektron luar on-shell, maka amplitudo di sisi kanan pada identitas ini memiliki masing-masing satu partikel luar off-shell', dan karena itu mereka tidak berkontribusi pada elemen S-matriks

Identitas Ward

Identitas Ward merupakan pengkhususan dari identitas Ward–Takahashi terhadap elemen S-matriks yang mendeskripsikan proses hamburan yang secara fisik memungkinkan dan dengan demikian memiliki semua partikel eksternal on-shell. Misalkan ${\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)$ adalah amplitudo proses QED yang melibatkan foton eksternal dengan momentum $k$, dimana $\epsilon _{\mu }(k)$ adalah vektor polarisasi foton. Maka, Identitas Ward menjadi

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0$

Identitas Ward memiliki makna polarisasi longitudinal foton yang muncul pada ξ gauge adalah tidak fisis dan menghilang dari S-matriks.

Contoh penggunaan identitas Ward antara lain pembatasan struktur tensor dari polarisasi vakum dan fungsi verteks elektron dalam QED.