| Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Berezin integral di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam fisika matematis, Integral Berezin, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai Integral Grassmann, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior). Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang dimana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.
Misalkan
adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif
dari bidang bilangan kompleks. (Urutan dari generator
tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)
Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann
didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear
![{\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfde6f43fd064d134ee25d8450d979cf470a806b)
...dimana kita mendefinisikan...
![{\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11be989adcfa8a3610ec1bfed540a1ed417c25a9)
sehinggaː
![{\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb400feb3991cba41084c9caa05b5665b2e05a0)
Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan
![{\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5a457ab3c84df207a60858ab58e25148e046a9)
Perhatikan bahwa
merupakan fungsi yang paling umum dari
karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi
tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.
Integral Berezin dari
didefinisikan sebagai fungsi linear unik
dengan sifat-sifat berikut.
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d1b4aa8eddcbf18d4bdc19b06e770d3eab12d)
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d898346fb4671a67ea94fb22683170eaa630569)
untuk setiap
, dimana
berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.
Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya[1]
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ba2cca4d02e35f260986885201c90e3fc4400a)
Rumus
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f201614d088b29824b65d2937cd854a020ec430)
mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial
diatur menjadi
, dimana
, integral dari
menghilang. Integral dengan terhadap
dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.
Misalkan
, adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris
. Matriks Jacobian bisa ditulis
dimana
merujuk turunan sebelah kanan (
). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca
![{\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b6d93d42849621ab5429b9993a447e82e5d16c)
Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil[sunting | sunting sumber]
Sekarang pertimbangkan aljabar
dari fungsi dari variabel komutatif real
dan variabel antikomutatif
(yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi
). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi
adalah sebuah fungsi dari variabel
genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel
ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota
adalah sebuah fungsi dari argumen
yang bervariasi di himpunan terbuka
dengan nilai di aljabar
. Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak
. Integral Berezin adalah
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f877e2ff8bc69de36d1246fb06a56363d16e4869)
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh
, dimana
genap dan
adalah polinomial ganjil dari
bergantung pada variabel genap
. Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː
![{\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06210ff128ccce67933c21daf51284ff0ab52a6)
dimana setiap turunan genap
komuter dengan semua anggota dari aljabar
, turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal
dan
adalah genap dan entri dari blok off-diagonal
,
, dimana
lagi berarti turunan kanan.
Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks
, yang dimana fungsi genap
![{\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c029458dcbf0c98d5e5d615f045c6e60860be953)
mendefinisikan ketika fungsi
invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam
. Andaikan bahwa fungsi real
mendefinisikan pemetaan invertible mulus
dari himpunan terbuka
dalam
dan bagian linear dari
invertible untuk setiap
. Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan
![{\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727a705ce9ac358df0f6cc0bdea0a7e1d1169d60)
dimana
adalah tanda dari awalnya pemetaan
. Superposisi
mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi
tidak bergantung pada
. Dalam kasus umum, kita tulis
, dimana
adalah anggota nilpoten genap dari
dan himpunan
,
dimana deret Taylor terbatas.
Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam rumus integral lintasan dari teori medan kuantumː
![{\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \eta =\det A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4a5a41ef116d7d48c3f06b449e1336d7ad3a73)
dengan
menjadi sebuah matriks
yang kompleks.
dengan
menjadi sebuah matriks miring simetris
yang kompleks, dan
menjadi Pfaffian dari ![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
, yang memenuhi
.
Rumus di atas, notasi
digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː
![{\displaystyle \int \exp \left[-\left(\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right)\right]\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \eta =\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0a2a58fcd1c7e9634464ba9348bd88e5d5854e)
dengan
menjadi sebuah matriks
invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.
Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh Felix Berezin.[2] Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh David John Candlin[3] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov[4] (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam,[5] dan Martin.[5]
- Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
- Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, ISBN 978-90-277-1668-2
- ^ Mirror symmetry. Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. hlm. 155. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC 52374327.
- ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
- ^ D.J. Candlin (1956). "On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics". Nuovo Cimento. 4 (2): 231–239. Bibcode:1956NCim....4..231C. doi:10.1007/BF02745446.
- ^ Khalatnikov, I.M. (1955). "Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov" [The Representation of Green's Function in Quantum Electrodynamics in the Form of Continual Integrals] (PDF). Journal of Experimental and Theoretical Physics (dalam bahasa Rusia). 28 (3): 633. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2021-04-19. Diakses tanggal 2020-09-14.
- ^ a b Matthews, P. T.; Salam, A. (1955). "Propagators of quantized field". Il Nuovo Cimento. Springer Science and Business Media LLC. 2 (1): 120–134. doi:10.1007/bf02856011. ISSN 0029-6341.