Magma (aljabar)

Dalam aljabar abstrak, magma, biner^[1] atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Sejarah dan istilah

Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937).^[2] Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.^[3]

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):

"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."^[4]

Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.^[5]

Definisi

Magma adalah himpunan $M$ dengan operasi $\bullet$ dimana elemen $a,b\in M$ ke elemen $a\bullet b$ . Simbol $\bullet$ adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi $(M,\bullet )$ menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma ketertutupan):

Untuk

a

,

b

dan

M

, hasil operasi

a\bullet b

adalah

M

.

Dan dalam notasi matematika:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M

.

Jika $\bullet$ operasi parsial, maka $(M,\bullet )$ disebut magma parsial^[6] atau disebut juga grupoid parsial.^[6]^[7]

Morfisme magma

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, $f\colon M\to N$ , memetakan magma $M$ ke magma $N$ , yang dimana operasi biner:

f(x\bullet _{M}y)=f(x)\bullet _{N}f(y)

dimana $\bullet _{M}$ dan $\bullet _{N}$ menunjukkan operasi biner pada $M$ dan $N$ .

Notasi dan kombinatorik

Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi $\bullet$ dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

(a\bullet (b\bullet c))\bullet d=(a(bc))d

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, $xy\bullet z=(x\bullet y)\bullet z$ . Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:

(a\bullet bc)d

.

Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis $\bullet \bullet a\bullet bcd$ . Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis $abc\bullet \bullet d\bullet$ , di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi $n$ dari operator magma dari bilangan Catalan, $C_{n}$ . Jadi, $C_{2}=2$ , yang mana hanya pernyataan $(ab)c$ dan $a(bc)$ adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: $C_{3}=5$ : $((ab)c)d$ , $(a(bc))d$ , $(ab)(cd)$ , $a((bc)d)$ , dan $a(b(cd))$ .

Terdapat $n^{n^{2}}$ magma dengan elemen $n$ adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).^[8]

Magma bebas

Magma bebas, $M_{X}$ , himpunan $X$ adalah magma yang digunakan untuk $X$ (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada $X$ dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

(a\bullet b)=(a)(b)

(a\bullet (a\bullet b))=(a)((a)(b))

(a\bullet a)\bullet b=((a)(a))(b)

$M_{X}$ dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif $X$ dengan tanda kurung dipertahankan.^[9]

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen $X$ . Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika $f\colon X\to N$ adalah fungsi dari $X$ ke magma, $N$ , maka perluasan dari $f$ ke morfisme magma, $f'$

f'\colon M_{X}\to N

.

Jenis magma

Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Grup semu: Magma di mana pembagian selalu mungkin
Gelung: Kuasigrup dengan elemen identitas
Semigrup: Magma yang dimana operasinya asosiatif
Semigrup balikan: Semigrup dengan balikan.
Semikisi: Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
Monoid: Semigrup dengan elemen identitas
Grup: Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
Grup Abelian: Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Penggolongan berdasarkan sifat

Struktur grup
	Totalitas^α	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Magma $(S,\bullet )$ , dengan $x,y,u,z\in S$ , disebut

Medial: Jika identitas, $xy\bullet uz\equiv xu\bullet yz$
Semimedial kiri: Jika identitas, $xx\bullet yz\equiv xy\bullet xz$
Semimedial kanan: Jika identitas, $yz\bullet xx\equiv yx\bullet zx$
Semimedial: Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, $x\bullet yz\equiv xy\bullet xz$
Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, $yz\bullet x\equiv yx\bullet zx$
Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan
Komutatif: Jika memenuhi identitas, $xy\equiv yx$
Idempoten: Jika identitas, $xx\equiv x$
Unipoten: Jika identitas, $xx\equiv yy$
Nolpoten: Jika identitas, $xx\bullet y\equiv xx\equiv y\bullet xx$ ^[10]
Alternatif: Jika identitas $xx\bullet y\equiv x\bullet xy$ dan $x\bullet yy\equiv xy\bullet y$
Daya-asosiatif: Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
Fleksibel: jika $xy\bullet x\equiv x\bullet xy$
Semigrup, atau asosiatif: Jika identitas, $x\bullet yz\equiv xy\bullet z$
Uner kiri: Jika identitas, $xy\equiv xz$
Uner kanan: Jika identitas, $yx\equiv zx$
Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol: Jika identitas, $xy\equiv uv$
Unital: Jika memiliki elemen identitas

Kategori magma

Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: Himpunan → Med ↪ Mag sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: $x\,\mathrm {T} \,y=y$ .

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan $(\{^{*}\},^{*})$ adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.^[11]

Perampatan

Lihat grup n-er.

Lihat pula

Kategori magma
Objek magma otomatis
Aljabar universal
Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
Magma takasosiatif komutatif
Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
Aljabar grupoid
Himpunan Hall

Referensi

^ Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics
^ Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
^ Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
^ ^a ^b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
^ Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1
^ Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.
^ Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5
^ Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.

M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Free magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

Bacaan lebih lanjut

Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics

[2] Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362

[Hollings2014-3] Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1

[BergmanHausknecht1996-4] Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7

[Bourbaki1998-5] Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5

[Müller-HoissenPallo2012-6] Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9

[Silver-7] Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1

[8] Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

[9] Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5

[10] Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60

[11] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

α

[10]

[11]