Metode regula falsi

Dalam matematika, metode regula falsi adalah algoritme pencarian akar yang menggabungkan ciri-ciri dari metode bagi-dua dan metode sekan. TOC

Metode

Dua iterasi pertama metode regula falsi. Kurva merah menunjukkan fungsi f dan garis-garis biru adalah sekan.

Seperti metode bagi-dua, metode regula falsi dimulai dengan dua titik awal a₀ dan b₀ sedemikian sehingga f(a₀) dan f(b₀) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema nilai antara, ini berarti fungsi f memiliki akar dalam selang [a₀, b₀]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang [a_k, b_k] yang semuanya berisi akar f.

Pada iterasi ke-k, bilangan

$c_{k}={\frac {f(b_{k})a_{k}-f(a_{k})b_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}$

dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, c_k adalah akar dari garis sekan melalui (a_k, f(a_k)) dan (b_k, f(b)). Jika f(a_k) dan f(c_k) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan a_k+1 = c_k dan b_k+1 = b_k. Jika tidak, kita menetapkan a_k+1 = a_k dan b_k+1 = c_k. Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik.

Rumus di atas juga digunakan pada metode sekan, namun metode sekan selalu mempertahankan dua titik terakhir yang dihitung, sementara metode regula falsi mempertahankan dua titik yang pasti mengapit akar. Di sisi lain, satu-satunya perbedaan antara metode regula falsi dan metode bagi-dua adalah yang terakhir menggunakan c_k = (a_k + b_k) / 2

Mencari akar sekan

Misalkan diketahui a_k dan b_k, kita menarik garis melalui titik-titik (a_k, f(a_k)) dan (b_k, f(b_k)), sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di atas. Perhatikan bahwa garis ini adalah sekan dari grafik fungsi f. Garis ini dapat didefinisikan sebagai:

$y-f(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).$

Kita sekarang memilih c_k sebagai akar dari garis ini, sehingga c dipilih sedemikian sehingga

$f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.$

Memecahkan persamaan ini memberikan persamaan di atas untuk c_k

Referensi

• J.A. Ford (1995), Improved Algorithms of Illinois-type for the Numerical Solution of Nonlinear Equations, Technical Report CSM-257, University of Essex, 1995
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), "Numerical Analysis, (7th Ed)", Brooks/Cole. L.E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, Leonardo Pisno's Book of Calculation (2002), Springer-Verlag, New York.