Permukaan kerucut

Dalam geometri, Permukaan kerucut adalah permukaan tidak terbatas yang dibentuk oleh gabungan dari semua garis lurus yang melewati titik tetap yang apex atau vertex dan setiap titik beberapa kurva ruang yang directrix yang tidak mengandung puncak. Masing-masing garis itu disebut generatrix permukaan.

Permukaan kerucut pada $S$ dapat dirumuskan secara parametrik

S(t,u)=v+uq(t)

,

darimana $v$ adalah puncak $q$ adalah directrix.

Permukaan kerucut $2\theta$ , porosnya adalah $z$ sumbu koordinat dan puncaknya adalah asalnya, dirumuskan sebagai parametrik

S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta )

darimana $t$ dan $u$ dan $[0,2\pi )$ and $(-\infty ,+\infty )$ , masing masing. In implisit permukaan yang sama dijelaskan oleh $S(x,y,z)=0$ where

S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.

Lebih umum, permukaan kerucut bundar kanan dengan puncak pada titik asalnya, sejajar sumbu dengan vektor $\mathbf {d}$ , dan $2\theta$ , diberikan oleh persamaan vektor implisit $S(\mathbf {x} )=0$ darimana

S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2}

atau

S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta

darimana $\mathbf {x} =(x,y,z)$ , dan $\mathbf {x} \cdot \mathbf {d}$ menunjukkan titik produk.

Dalam koordinat tiga, $x, y$ dan $z, a$ permukaan kerucut dengan directrix elips, dengan puncaknya pada titik asal, diberikan oleh persamaan homogen derajat 2:

S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.

Lihat pula