Persamaan diferensial parsial

Visualisasi dari solusi Persamaan panas dua dimensi dengan temperatur direpresentasikan oleh sumbu vertikal dan warna

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Pengantar

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

$u(x,y)=f(y),\,$

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

${\frac {du}{dx}}=0\,$

yang memiliki solusi

$u(x)=c,\,$

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi $\!f(y)$ dapat ditentukan jika $\!u$ dispesifikasikan pada sebuah garis $\!x=0$.

Keberadaan dan keunikan

Meskipun masalah keberadaan dan keunikan solusi pada persamaan diferensial biasa memiliki jawaban yang sangat memuaskan menggunakan Teorema Picard-Lindelöf, yaitu kasus untuk persamaan diferensial parsial. Teorema Cauchy-Kowalevski menyatakan bahwa Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial yang koefisien adalah Fungsi analitik dalam fungsi yang tidak diketahui. Meskipun hasil ini mungkin menyelesaikan keberadaan dan keunikan solusi, contoh persamaan diferensial parsial linier koefisiennya memiliki turunan dari semua pesanan tetapi tidak memiliki solusi sama sekali: lihat Lewy (1957).

Contoh perilaku patologis adalah urutan (tergantung pada n) Masalah Cauchy untuk Persamaan Laplace

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,$

dengan syarat batas

${\begin{aligned}u(x,0)&=0,\\{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)&={\frac {\sin nx}{n}},\end{aligned}}$

darimana n adalah bilangan bulat.

Turunan dari u adalah hubungan dengan y yang mendekati nol dalam x, tetapi solusinya adalah

$u(x,y)={\frac {\sinh ny\sin nx}{n^{2}}}.$

Klasifikasi

- Dalam pengembangan -

Notasi

Penulisan PDP umumnya ditulis dengan menggunakan tika bawah. Misalnya:

$$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$$

Pada situasi umum dengan ${\textstyle u}$ adalah fungsi dengan ${\textstyle n}$ variabel, maka ${\textstyle u_{i}}$ menunjukkan turunan parsial pertama terhadap input ke-${\textstyle i}$, ${\textstyle u_{ij}}$ menunjukkan turunan parsial kedua relatif terhadap input ke-${\textstyle i}$ dan ke-${\textstyle j}$, dan seterusnya.

Huruf yunani ${\textstyle \Delta }$ menunjukkan Operator Laplace; jika ${\textstyle u}$ adalah funsi dengan jumlah ${\textstyle n}$ variabel, maka $$\Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.$$

Pada bacaan fisika, operator Laplace sering dituliskan sebagai ${\textstyle \nabla ^{2}}$. Pada bacaan matematika, ${\textstyle \nabla ^{2}u}$ dapat juga mempresentasikan matriks Hesse dari fungsi ${\textstyle u}$.

Jenis umum PDP

Persamaan diferensial parsial eliptik, parabola, dan hiperbolik orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan Korteweg-de Vries. Hibrida Persamaan Euler-Tricomi, yang bervariasi dari eliptik ke hiperbolik untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.

Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.

Persamaan linear dan nonlinear

Persamaan linear

Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan linear jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi ${\textstyle u}$ dengan variabel ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$, sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)$$

dengan ${\textstyle a_{i}}$ dan ${\textstyle f}$ adalah fungsi dengan variabel independen ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$ saja. Sering kali turunan parsial campuran ${\textstyle u_{x}y}$ dan ${\textstyle u_{y}x}$ akan disamakan, tapi ini tidak diperlukan untuk diskusi tentang linearitas persamaan.

Jika ${\textstyle a_{i}}$ adalah konstan (independen terhadap ${\textstyle x}$ dan ${\textstyle y}$), maka PDP tersebut dikatakan disebut sebagai linear dengan koefisien konstan. Jika ${\textstyle f}$ bernilai 0 di mana pun, maka PDP linear disebut homogenous, jika tidak maka disebut inhomogenous. Ini berbeda dengan homogenisasi asimpotik yang mempelajari tentang efek dari osilasi frekuensi tinggi pada koefisien pada solusi PDP.

Nonlinear equations

Tiga jenis PDP nonlinear adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.

Jenis terdekat dengan PDP linear adalah PDP semi-linear, di mana hanya turunan orde tertinggi muncul seperti bagian linear, dengan koefisien adalah fungsi dari variabel independen. Turunan orde lebih rendah dan fungsi yang tidak diketahui mungkin terlihat acak. Misalnya, sebuah persamaan PDP semi-linear orde kedua yang umum dengan dua variabel adalah $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

Pada PDP 'quasilinear, turunan tertinggi juga muncul seperti bagian linear, tapi dengan koefisien yang kemungkinan fungsi terhadap variabel yang tidak diketahui atau turunan dengan orde yang lebih rendah:

$$a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan relativitas umum dan Persamaan Navier-Stokes yang mendeskripsikan pergerakan fluida.

Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai nonlinear penuh, dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah Persamaan Monge–Ampère yang muncul dari geometri diferensial.

Solusi analitis

Pemisahan variabel

PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan pemisahan variabel. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.

Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.

Hal tersebut kemungkinan untuk PDP yanh sederhana, disebut pula persamaan diferensial parsial yang terpisahkan dan domain umum persegi panjang (hasil kali interval). PDP yang dapat memisahkan sesuai dengan hasil matriks diagonal dengan memikirkan "menetapkan nilai x" sebagai koordinat, setiap koordinat dapat dipahami secara terpisah.

Pada saat menggeneralisasi metode karakteristik dan juga digunakan dalam transformasi integral.