Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse (dinamai dari matematikawan Otto Hesse) adalah persamaan yang digunakan dalam bidang geometri analitis. Persamaan ini mendeskripsikan garis di $\mathbb {R} ^{2}$ atau bidang di ruang Euklides $\mathbb {R} ^{3}$ atau bidang di dimensi yang lebih tinggi. Persamaan ini biasanya digunakan untuk menghitung jarak.

Persamaan ini ditulis dengan notasi vektor sebagai berikut:

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

Titik $\cdot$ merupakan produk skalar atau produk titik. Vektor ${\vec {n}}_{0}$ melambangkan vektor normal satuan E atau g, yang mengarah dari titik awal ke bidangnya. Jarak $d\geq 0$ adalah jarak dari titik awal ke bidangnya.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik P yang dideskripsikan oleh vektor lokasi ${\vec {r}}$, yang terletak di bidang E.

Derivasi/perhitungan dari bentuk normal

Dalam bentuk normal:

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$

suatu bidang ditetapkan oleh vektor normal ${\vec {n}}$ dan juga posisi sembarang vektor ${\vec {a}}$ dan titik $A\in E$. Arah ${\vec {n}}$ dipilih untuk memenuhi pertidaksamaan berikut:

${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$

Dengan membagi vektor normal ${\vec {n}}$ dengan $|{\vec {n}}|$, vektor satuan normal dapat diperoleh:

${\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,$

dan persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi:

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,$

Berdasarkan rumus berikut

$d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,$

bentuk normal Hesse dapat diperoleh

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$