Subgrup Frattini

Diagram Hasse dari kisi subgrup dari grup dihedral Dih₄. Dalam lapisan 3-elemen adalah subkelompok maksimal; persimpangan mereka (subgrup Frattini) adalah elemen pusat dalam lapisan 5 elemen. Begitu Dih₄ hanya memiliki satu elemen non-penghasil di luar e .

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini $\Phi (G)$ dari grup G adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari G. Untuk kasus di mana G tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh $\Phi (G)=G$. Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.

Beberapa fakta

• $\Phi (G)$ sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari G. Elemen yang tidak menghasilkan G adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen a dari G sedemikian rupa sehingga setiap kali X adalah himpunan penghasil G yang berisi a , $X\setminus \{a\}$ juga merupakan himpunan pembangkit G.
• $\Phi (G)$ selalu merupakan subgrup karakteristik dari G; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari G.
• Jika G terbatas, maka $\Phi (G)$ adalah nilpoten.
• Jika G adalah grup p , maka $\Phi (G)=G^{p}[G,G]$. Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal N sehingga grup hasil bagi $G/N$ adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order p . Apalagi jika grup kecerdasan $G/\Phi (G)$ (juga disebut hasil bagi Frattini dari G) memiliki urutan $p^{k}$, maka k adalah jumlah generator terkecil untuk G (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk G). Secara khusus, grup p yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan p ). Grup p yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, $\Phi (G)=\{e\}$.
• Jika H dan K terbatas, maka $\Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)$.

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik G order $p^{2}$, di mana p adalah bilangan prima, dihasilkan oleh a , maka; $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$.

Lihat pula

• Subgrup Fiting
• Argumen Frattini
• Sokel

Referensi

• Hall, Marshall (1959). The Theory of Groups. New York: Macmillan.  (See Chapter 10, especially Section 10.4.)