Teorema Abel–Ruffini

Artikel ini bukan mengenai Teorema Abel.

Dalam matematika, Teorema Abel – Ruffini (juga dikenal sebagai Teorema ketakmungkinan Abel) menyatakan bahwa tidak ada penyelesaian dalam akar menjadi persamaan polinomial dari derajat lima atau lebih tinggi dengan sembarang koefisien. Di sini, umum berarti bahwa koefisien persamaan dipandang dan dimanipulasi sebagai determinan.

Teorema ini dinamai Paolo Ruffini, yang membuat bukti tidak lengkap pada tahun 1799, dan Niels Henrik Abel, yang memberikan bukti pada tahun 1824.

Teorema Abel – Ruffini juga merujuk pada hasil yang sedikit lebih kuat bahwa ada persamaan derajat lima dan lebih tinggi yang tidak dapat diselesaikan dengan radikal. Ini tidak sesuai dengan pernyataan Abel, tetapi merupakan akibat wajar dari pembuktiannya, karena pembuktiannya didasarkan pada fakta bahwa beberapa polinomial dalam koefisien persamaan bukanlah polinomial nol. Pernyataan yang ditingkatkan ini mengikuti langsung dari teori Galois. Teori Galois juga menyiratkan hal itu

$x^{5}-x-1=0$

adalah persamaan paling sederhana yang tidak dapat diselesaikan secara radikal (lihat Teori Galois § Contoh kuintik yang tidak dapat dipecahkan) dan bahwa polinomial hampir semua dengan derajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diselesaikan dalam radikal.

Ketidakmungkinan menyelesaikan dalam derajat lima atau lebih tinggi kontras dengan kasus derajat yang lebih rendah: seseorang memiliki rumus kuadrat, rumus kubik, dan rumus kuartik untuk derajat dua, tiga, dan empat.