Bicorn

Dalam geometri, bicorn adalah sebuah kurva kuartik rasional yang didefinisikan dengan persamaan^[1] $y^{2}(a^{2}-x^{2})=(x^{2}+2ay-a^{2})^{2}.$

Kurva ini mempunyai dua taring dalam simetrik mengenai sumbu- $y$ .^[2] Kurva bicorn dikenal sebagai kurva topi berbentuk segitiga lantaran mempunyai kemiripannya dengan topi bicorne.

Sejarah

Pada tahun 1864, James Joseph Sylvester mempelajari kurva bicorn. Kurva dengan persamaan $y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0$ mempunyai kaitannya dengan klasifikasi persamaan kuintik. James Joseph menamakan kurva itu sebagai bicorn karena memiliki dua taring. Kurva ini dipelajari lebih lanjut oleh Arthur Cayley pada tahun 1867.^[3]

Sifat-sifat

Sebuah kurva *bicorn* yang ditransformasi dengan $a=1$

Bicorn merupakan sebuah kurva aljabar bidang derajat empat dan genus nol. Bicorn mempunyai dua taring yang tunggal di bidang real, dan mempunyai sebuah titik ganda dalam bidang proyektif kompleks di $x=0$ , $z=0$ . Jika kedua titik tersebut (yakni, $x=0$ dan $z=0$ ) dipindahkan ke titik asalnya, dengan mensubstitusi dan memutar rotasi imajiner pada $x$ , tetapi mensubstitusi ${\textstyle {\frac {ix}{z}}}$ untuk $x$ dan ${\textstyle {\frac {1}{z}}}$ untuk $y$ dalam kurva bicorn, akan diperoleh $(x^{2}-2az+a^{2}z^{2})^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.$

Kurva ini, yang merupakan limaçon, mempunyai sebuah titik ganda biasa di titik asalnya, dan dua simpul di bidang kompleks, di $x=\pm i$ dan $z=1$ .

Persamaan-persamaan parametrik dari kurva bicorn adalah $x=a\sin(\theta )$ dan $y=a{\frac {\cos ^{2}(\theta )\left(2+\cos(\theta )\right)}{3+\sin ^{2}(\theta )}}$ dengan $-\pi \leq \theta \leq \pi$ .