Nilai dan vektor eigen

Matriks $A$ menyebabkan vektor $\mathbf {x}$ memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka $\mathbf {x}$ merupakan vektor eigen dari $A$.

Dalam aljabar linear, vektor eigen (eigenvector) atau vektor karakteristik dari suatu matriks berukuran $n\times n$ adalah vektor tak nol yang hanya mengalami perubahan panjang ketika dikali dengan matriks tersebut. Nilai eigen (eigenvalue) yang berasosiasi dengan vektor tersebut, umumnya dilambangkan dengan $\lambda$, menyatakan besar perubahan panjang vektor yang terjadi. Secara umum dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak mengalami rotasi ketika ditransformasikan oleh matriks. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real, dan akan mengalami rotasi ketika elemen berupa bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, yang keduanya diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan, contohnya pada transformasi linear. Ruang eigen dari $\lambda$ merupakan ruang vektor yang dibentuk dari gabungan vektor nol dan kumpulan vektor eigen yang berasosiasi dengan $\lambda$.

Istilah eigen sering kali dipadankan dengan istilah karakteristik, karena kata "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Pendahuluan

Nilai eigen dan vektor eigen umum ditemukan ketika melakukan analisis mengenai pemetaan (transformasi) linear. Istilah "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat. Awalnya konsep ini digunakan untuk mempelajari sumbu utama (principal axes) dari gerakan rotasi pada benda tegar. Nilai eigen dan vektor eigen saat ini telah diterapkan dalam banyak bidang, sebagai contoh dalam teori stabilitas, analisis getaran, orbital atom, pengenalan wajah (facial recognition), dan diagonalisasi matriks.

Pada dasarnya, suatu vektor eigen $\mathbf {v}$ dari pemetaan linear $T$ adalah suatu vektor tak nol yang tidak berubah arah, ketika diterapkan oleh $T$. Menerapkan $T$ ke vektor eigen hanya mengubah ukuran eigen vektor sebesar $\lambda$, yang disebut dengan nilai eigen. Kondisi ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai$$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$$yang disebut dengan persamaan nilai eigen atau persamaan eigen. Secara umum, $\lambda$ dapat berupa sembarang skalar. Sebagai contoh, $\lambda$ dapat bernilai negatif, yang mengartikan vektor eigen berbalik ketika dipetakan, atau bernilai nol, atau berupa bilangan kompleks.

Dalam transformasi peregangan ini, panah berwarna merah berubah arah sedangkan panah berwarna biru tidak. Hal ini menyebabkan panah biru adalah vektor eigen dari transformasi; karena panjangnya tidak berubah, nilai eigennya adalah 1.

Sebuah matriks simetrik real ukuran 2×2 merepresentasikan peregangan dan pergeseran (stretching and shearing) dari bidang. Vektor eigen dari matriks (garis merah) adalah dua arah unik pada bidang, di mana setiap titik pada garis tersebut akan tetap berada pada garis ketika ditransformasi oleh matriks.

Lukisan Mona Lisa berikut menyajikan ilustrasi sederhana mengenai hal ini. Setiap titik pada lukisan dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor yang berasal dari pusat lukisan ke titik tersebut. Pemetaan linear dalam contoh ini disebut transformasi peregangan/pergeseran (shear mapping). Titik-titik yang berada di atas akan bergeser ke kanan, dan titik-titik di bawah akan bergeser ke kiri; sebanding dengan seberapa jauh posisi mereka dari sumbu horizontal yang terletak di tengah lukisan. Sebagai akibatnya, setiap vektor akan miring ke kanan atau ke kiri, dan menjadi semakin panjang atau semakin pendek. Namun, titik-titik yang terletak di sumbu horizontal tidak bergeser (miring) sama sekali. Alhasil, semua vektor yang mengarah ke kiri atau ke kanan, tanpa memiliki komponen vertikal, adalah vektor eigen dari pemetaan ini; karena pemetaan tersebut tidak mengubah arah vektor. Lebih lanjut, vektor-vektor eigen ini memiliki nilai eigen sebesar 1, karena pemetaan juga tidak mengubah ukuran mereka.

Pemetaan linear dapat muncul dalam banyak bentuk dan memetakan banyak jenis ruang vektor, sehingga vektor eigen dapat memiliki rupa yang bermacam-macam. Sebagai contoh, pemetaan linear dapat berbentuk operator turunan seperti ${\tfrac {d}{dx}}$, dan vektor eigen disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunctions) yang mengalami penskalaan oleh operator tersebut; contohnya fungsi$${\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.$$Contoh lain, pemetaan linear dapat berbentuk matriks berukuran $n\times n$, dan vektor eigen akan berupa matriks berukuran $n\times 1$. Jika pemetaan linear dinyatakan oleh matriks $A$ berukuran $n\times n$, persamaan nilai eigen dapat dituliskan sebagai perkalian matriks$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$dengan vektor eigen $\mathbf {v}$ adalah matriks berukuran $n\times 1$. Untuk kasus matriks, nilai eigen dan vektor eigen dapat digunakan untuk mendekomposisi matriks tersebut, contohnya dengan mendiagonalisasinya.

Nilai eigen dan vektor eigen menghasilkan banyak konsep matematika yang berhubungan, dan istilah "eigen" ditambahkan ketika menamai mereka:

• Himpunan vektor eigen dari pemetaan linear, masing-masing dipasangkan dengan nilai eigen mereka, disebut dengan sistem eigen (eigensystem) dari transformasi tersebut.
• Himpunan dari semua vektor eigen dari $T$ yang berasosiasi dengan suatu nilai eigen, dan ditambah dengan vekotr nol, disebut dengan ruang eigen (eigenspace) atau ruang karakteristik dari $T$ yang berasosiasi dengan nilai eigen tersebut.
• Jika suatu himpunan vektor eigen dari $T$ membentuk sebuah basis bagi domain dari $T$, maka basis ini disebut basis eigen (eigen basis).

Definisi formal

Jika $T$ adalah suatu pemetaan linear dari suatu ruang vektor $V$ atas lapangan $F$ ke dirinya sendiri, dan $\mathbf {v}$ adalah vektor tak nol di $V$, maka $\mathbf {v}$ adalah vektor eigen dari $T$ jika $T(\mathbf {v} )$ adalah suatu kelipatan skalar dari $\mathbf {v}$. Hal ini dapat ditulis sebagai

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$

dengan $\lambda$ adalah suatu skalar di $F$, yang disebut dengan nilai eigen (eigenvalue), nilai karakteristik, atau akar karakteristik, yang berasosiasi dengan $\mathbf {v}$.

Ada hubungan erat antara matriks persegi berukuran $n\times n$ dengan pemetaan linear dari ruang vektor berdimensi $n$ ke dirinya sendiri. Hal ini menyebabkan, dalam suatu ruang vektor berdimensi hingga, nilai eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan menggunakan bahasa matriks, maupun menggunakan bahasa pemetaan linear. Jika $V$ berdimensi hingga, persamaan di atas setara dengan

$A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} .$

dengan $A$ adalah representasi matriks dari $T$ dan $\mathbf {x}$ adalah vektor koordinat dari $\mathbf {v}$.

Nilai dan vektor eigen dari matriks

Lihat pula: Vektor Euklides dan Matriks (matematika)

Matriks $A$ menyebabkan vektor $\mathbf {x}$ memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka $\mathbf {x}$ merupakan vektor eigen dari $A$.

Nilai eigen dan vektor eigen sering diperkenalkan ke murid dalam konteks kelas aljabar linear yang berfokus pada matriks. Lebih lanjut, pemetaan linear atas ruang vektor hingga dapat dinyatakan menggunakan matriks, yang umum digunakan secara numerik maupun komputasi. Misalkan vektor berdimensi $n$ yang dibentuk sebagai barisan $n$ buah skalar; contohnya vektor berdimensi 3$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{dan}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$$Kedua vektor ini dikatakan saling berkelipatan skalar, atau paralel atau kolinear, jika terdapat skalar $\lambda$ sehingga $\mathbf {x} =\lambda \mathbf {y}$. Dalam kasus ini $\lambda =-{\tfrac {1}{20}}$. Sekarang misalkan pemetaan linear dari vektor dimensi $n$ yang didefinisikan oleh sebuah matriks $A$ berukuran $n\times n$,$$A\mathbf {v} =\mathbf {w} .$$Jika $\mathbf {v}$ dan $\mathbf {w}$ saling berkelipatan skalar, yakni jika terdapat $\lambda$ sehingga

$A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v} ,$

(1)

maka $\mathbf {v}$ adalah vektor eigen dari pemetaan linear $A$ dan skalar $\lambda$ adalah nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor eigen tersebut. Persamaan (1) adalah persamaan nilai eigen untuk matriks $A$. Persamaan (1) juga dapat dinyatakan sebagai

$\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$

(2)

dengan $I$ adalah matriks identitas dan $\mathbf {0}$ adalah vektor nol.

Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Artikel utama: Polinomial karakteristik

Persamaan (2) memiliki solusi tak nol $\mathbf {v}$ jika dan hanya jika nilai determinan dari matriks $(A-\lambda I)$ adalah nol. Dengan demikian, nilai-nilai eigen dari $A$ adalah nilai-nilai $\lambda$ yang memenuhi persamaan

$|A-\lambda I|=0.$

(3 )

Dengan menggunakan rumus Leibniz, ruas kiri pada Persamaan (3) dapat dijabarkan menjadi sebuah fungsi polinomial dengan variabel $\lambda$ dan berderajat $n$, yakni ukuran dari matriks $A$. Koefisien-koefisien polinom ini bergantung pada entri-entri matriks $A$, kecuali suku berderajat $n$ yang akan memiliki koefisien $(-1)^{n}$. Polinomial ini disebut sebagai polinomial karakteristik dari $A$. Persamaan (3) sendiri disebut sebagai persamaan karakteristik dari $A$. Teorema dasar aljabar mengakibatkan polinomial karakteristik dari $A$, yang berderajat $n$, dapat difaktorkan sebagai perkalian $n$ buah suku linear,

$|A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),$

(4 )

dengan setiap $\lambda _{i}$ dapat berupa bilangan real, walau pada umumnya berupa kompleks. Nilai $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{n}$, yang mungkin tidak semuanya unik, adalah akar-akar dari polinomial dan merupakan nilai eigen dari $A$.

Sebagai contoh singkat, yang akan dijelaskan pada bagian Contoh nanti, misalkan sebuah matriks

$$A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$$

Dengan menghitung determinan dari $(A-\lambda I)$, didapatkan polinom karakteristik dari $A$ yakni

$$|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$$

Setelah mencari akar dari polinom ketika sama dengan nol, didapatkan akar $\lambda =1$ dan $\lambda =3$, yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari $A$. Vektor eigen yang berasosiasi dengan masing-masing nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan komponen $\mathbf {v}$ di persamaan $\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$. Dalam contoh ini, vektor eigen adalah sembarang kelipatan skalar (tak nol) dari$$\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},{\text{ dan}}\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$$Jika entri-entri dari matriks $A$ berupa bilangan real, maka koefisien dari polinom karakteristik juga berupa bilangan real. Namun, nilai eigen sebagai solusi dari polinom tersebut mungkin memiliki bagian imajiner; entri-entri pada vektor eigen yang berasosiasi dengannya juga mungkin memiliki bagian imajiner. Serupa dengan itu, nilai eigen dapat berupa bilangan irasional walau semua entri dari $A$ berupa bilangan rasional, atau bahkan jika semuanya berupa bilangan bulat.

Bagian imajiner dari akar pada polinomial real dengan koefisien-koefisien real dapat dikelompokkan dalam pasangan konjugat kompleks, yakni dengan anggotanya memiliki bagian real yang sama dan hanya berbeda tanda di bagian imajinernya. Jika polinom berderajat ganjil, maka teorema nilai antara mengatakan setidaknya satu akar akan berupa real. Dengan demikian, sembarang matriks real berukuran ganjil akan memiliki setidaknya satu nilai eigen real, sedangkan matriks real berukuran genap mungkin tidak memiliki satupun nilai eigen real. Vektor-vektor eigen yang berasosiasi dengan nilai-nilai eigen kompleks akan memiliki komponen kompleks, dan juga muncul dalam pasangan konjugat kompleks.

Kegandaan aljabar

Misalkan $\lambda _{i}$ adalah nilai eigen dari suatu matriks $A$ berukuran $n\times n$. Kegandaan aljabar (algebraic multiplicity) $\mu _{A}(\lambda _{i})$ menyatakan bilangan $k$ terbesar yang membuat $(\lambda -\lambda _{i})^{k}$ dapat membagi habis polinomial karakteristik dari $A$.

Jika $A$ berdimensi $n$ dan memiliki $d\leq n$ nilai eigen yang berbeda, Persamaan (4) dapat dinyatakan secara lebih ringkas sebagai $$|A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$$Dalam kasus $d=n$, ruas kanan persamaan tersebut akan identik dengan Persamaan (4). Nilai setiap kegandaan aljabar dari nilai-nilai eigen berhubungan dengan dimensi $n$ dari matriks lewat persamaan

$${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}$$Jika $\mu _{A}(\lambda _{i})=1$, maka $\lambda _{i}$ dikatakan sebagai nilai eigen sederhana (simple eigenvalue). Jika $\mu _{A}(\lambda _{i})$ sama dengan kegandaan geometrik dari $\lambda _{i}$, yang dijelaskan pada bagian selanjutnya, maka $\lambda _{i}$ dikatakan sebagai nilai eigen semi-sederhana (semisimple eigenvalue).

Ruang eigen, kegandaan geometrik, dan basis eigen bagi matriks

Misalkan $\lambda$ adalah suatu nilai eigen dari matriks $A$ berukuran $n\times n$, dan himpunan $E$ berisi semua vektor $\mathbf {v}$ yang memenuhi Persamaan (2),

$E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.$

Di satu sisi, himpunan ini adalah kernel atau ruang nol (nullspace) dari matriks $(A-\lambda I)$. Di sisi lain, dari definisi, setiap vektor tak nol yang memenuhi Persamaan (2) adalah vektor-vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda$. Jadi, himpunan $E$ adalah gabungan vektor nol dengan himpunan semua vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda$, sekaligus sama dengan kernel dari $(A-\lambda I)$. Himpunan $E$ disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda$. Secara umum $\lambda$ akan berupa bilangan kompleks dan vektor eigen akan berupa matriks kompleks berukuran $n\times 1$.

Ruang eigen $E$ tertutup atas penjumlahan, karena $E$ is adalah suatu subruang vektor (dari $\mathbb {C} ^{n}$). Dengan kata lain, untuk sembarang vektor $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ anggota $E$, vektor $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ juga anggota $E$; atau secara ekuivalen, $A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )$. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian matriks. Serupa dengan itu, $E$ juga tertutup atas perkalian skalar. Artinya, jika $\mathbf {v} \in E$ dan $\alpha$ merupakan bilangan kompleks, maka $(\alpha \mathbf {v} )\in E$; atau secara ekuivalen, $A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )$. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat komutatif perkalian matriks kompleks dengan bilangan kompleks. Selama $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ dan $\alpha \mathbf {v}$ bukan vektor nol, mereka juga merupakan vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda$.

Dimensi dari ruang eigen $E$ yang berasosiasi dengan $\lambda$, yakni banyaknya vektor eigen yang berasosiasi dengan $\lambda$ dan saling bebas linear, disebut dengan kegandaan geometrik (geometric multiplicity) dari nilai eigen $\lambda$, disimbolkan dengan $\gamma _{A}(\lambda )$. Karena $E$ sama dengan kernel dari $(A-\lambda I)$, maka kegandaan geometrik dari $\lambda$ adalah dimensi dari kernel $(A-\lambda I)$, juga disebut sebagai nolitas dari $(A-\lambda I)$, dan berhubungan dengan dimensi dan rank dari $(A-\lambda I)$ lewat persamaan

$$\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$$

Sebagai akibat dari definisi nilai eigen dan vektor eigen, nilai kegandaan numerik dari suatu nilai eigen $\lambda$ setidaknya sama dengan 1. Lebih lanjut, nilai kegandaan numerik dari $\lambda$ tidak dapat melebihi nilai kegandaan aljabarnya; dan kegandaan aljabar tidak dapat melebihi dimensi dari matriks $A$. Secara matematis hal tersebut dapat ditulis sebagai$$1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n$$

Untuk membuktikan pertidaksamaan $\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$, pertimbangkan bahwa definisi kegandaan geometrik mengakibatkan eksistensi $\gamma _{A}(\lambda )$ buah vektor eigen ${\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}$ yang ortonormal, dan memenuhi $A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}$. Kita dapat menemukan matriks (uniter) $V$ yang $\gamma _{A}(\lambda )$ kolom pertamanya adalah vektor-vektor eigen ini, dan kolom-kolom yang tersisa adalah sembarang himpunan $n-\gamma _{A}(\lambda )$ buah vektor ortonormal yang ortogonal dengan vektor-vektor eigen tadi. Maka $V$ memiliki rank penuh sehingga memiliki invers, dan memenuhi persamaan $AV=VD$, dengan $D$ adalah matriks yang blok bagian atas kirinya adalah matriks diagonal $\lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}$. Hal ini mengimplikasikan $(A-\xi I)V=V(D-\xi I)$. Dengan kata lain, $A-\xi I$ serupa dengan $D-\xi I$, yang selanjutnya mengakibatkan $\det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)$. Namun dari definisi matriks $D$ kita ketahui bahwa $\det(D-\xi I)$ mengandung faktor $(\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}$, yang mengartikan kegandaan aljabar dari $\lambda$ harus memenuhi $\mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )$.

Misalkan $A$ memiliki $d\leq n$ nilai eigen unik $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$, dengan kegandaan geometrik dari $\lambda _{i}$ adalah $\gamma _{A}(\lambda _{i})$. Total kegandaan geometrik dari $A$,

$${\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}$$

adalah dimensi dari jumlah semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen $A$; atau secara ekuivalen, adalah banyaknya vektor-vektor eigen dari $A$ yang saling bebas linear. Jika $\gamma _{A}=n$, maka

• Jumlah langsung semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen $A$ akan sama dengan ruang vektor $\mathbb {C} ^{n}$.
• Suatu basis bagi $\mathbb {C} ^{n}$ dapat dibentuk dari $n$ buah eigen vektor dari $A$ yang saling bebas linear; basis tersebut dikatakan sebagai basis eigen (eigenbasis)
• Sembarang vektor di $\mathbb {C} ^{n}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen dari $A$.

Sifat-sifat lain dari nilai eigen

Misalkan $A$ adalah sembarang matriks berukuran $n\times n$ dengan entri berupa bilangan kompleks, dan memiliki nilai-nilai eigen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$. Setiap nilai eigen muncul sebanyak $\mu _{A}(\lambda _{i})$ kali di polinomial karakteristik matriks $A$, dengan $\mu _{A}(\lambda _{i})$ menyatakan kegandaan numerik dari nilai eigen. Berikut beberapa hubungan yang dimiliki matriks dengan nilai-nilai eigennya:

• Trace dari $A$, yang didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen diagonal utama pada matriks, bernilai sama dengan jumlah semua nilai eigen matriks tersebut,$$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.$$
• Determinan dari $A$ adalah hasil perkalian semua nilai eigen matriks tersebut,$$\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$$
• Nilai-nilai eigen dari matriks $A^{k}$, untuk sembarang bilangan bulat positif $k$, adalah $\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}$.
• Matriks $A$ dapat dibalik (memiliki invers) jika dan hanya jika tidak ada nilai eigennya yang bernilai nol.
• Jika $A$ terbalikkan, maka nilai-nilai eigen dari $A^{-1}$ adalah ${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$. Lebih lanjut, nilai eigen $\lambda _{i}$ dari $A$ dan nilai eigen ${\tfrac {1}{\lambda _{i}}}$ dari $A^{-1}$ akan memiliki nilai kegandaan geometrik dan kegandaan aljabar yang sama.
• Jika $A$ sama dengan transpos konjugat dirinya, $A^{*}$, dengan kata lain $A$ merupakan matriks Hermite, maka semua nilai eigennya bernilai real. Hal yang sama berlaku untuk sembarang matriks simetrik real.
• Jika $A$ merupakan matriks Hermite sekaligus bersifat definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif; maka berturut-turut, setiap nilai eigennya akan berupa bilangan positif, tak negatif, negatif, atau tak positif.
• Jika $A$ uniter, setiap nilei eigennya memiliki nilai mutlak $|\lambda _{i}|=1$.
• Nilai-nilai eigen dari matriks $I+A$ (dengan $I$ adalah matriks identitas) adalah $\{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}$. Lebih lanjut, jika $\alpha \in \mathbb {C}$, nilai-nilai eigen dari $\alpha I+A$ adalah $\{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}$. Secara umum untuk sembarang polinomial $P$, nilai-nilai eigen dari matriks $P(A)$ adalah $\{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}$.

Identitas nilai dan vektor eigen

Untuk sembarang matriks Hermite, kuadrat norma dari komponen ke-$j$ dari vektor eigen yang ternormalisasi dapat ditentukan hanya dengan menggunakan nilai-nilai eigen dari matriks dan nilai-nilai matriks minor yang bersesuaian,$$|v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},$$

dengan ${\textstyle M_{j}}$ adalah submatriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom ke-$j$ dari matriks awalnya.

Contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh matriks dimensi dua

Transformasi matriks A = $\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]$ tidak mengubah arah vektor ungu yang paralel dengan v_λ=1 = [1 −1]^T, dan vektor biru yang paralel dengan v_λ=3 = [1 1]^T. Vektor-vektor merah tidak paralel dengan vektor-vektor eigen, sehingga arah mereka berubah ketika ditransformasi. Panjang dari vektor ungu tidak berubah akibat transformasi, karena nilai eigennya sama dengan 1. Di sisi lain vektor biru menjadi tiga kali lebih panjang dari awalnya, karena nilai eigennya sama dengan 3.

Misalkan sebuah matriks

$$A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$$

Gambar berikut menunjukkan efek dari transformasi oleh matriks pada titik-titik koordinat yang terletak pada bidang. Vektor-vektor eigen $\mathbf {v}$ dari transformasi ini memenuhi Persamaan (1), dan nilai-nilai eigennya adalah nilai-nilai $\lambda$ yang menyebabkan determinan matriks $(A-\lambda I)$ sama dengan nol. Dengan menghitung determinan, kita mendapatkan polinomial karakteristik dari $A$,

$${\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}$$

Polinom karakteristik ini memiliki akar $\lambda =1$ dan $\lambda =3$, yang selanjutnya adalah dua nilai eigen dari $A$. Mensubtitusi $\lambda =1$ ke dalam Persamaan (2), didapatkan

$(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$1v_{1}+1v_{2}=0$; $1v_{1}+1v_{2}=0$

Sembarang vektor tak nol dengan $v_{1}=-v_{2}$ akan memenuhi persamaan ini. Dengan demikian, dapat dipilih satu vektor,

$$\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$

sebagai vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda =1$; setiap kelipatan dari vektor ini juga merupakan vektor eigen. Sedangkan untuk $\lambda =3$, Persamaan (2) dapat ditulis menjadi

$${\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}$$

Sembarang vektor tak nol dengan $v_{1}=v_{2}$ akan memenuhi persamaan ini. Dengan cara yang sama seperti di atas,$$\mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$$

adalah vektor eigen dari $A$ yang berasosiasi dengan $\lambda =3$. Alhasil, vektor $\mathbf {v} _{\lambda =1}$ dan $\mathbf {v} _{\lambda =3}$ adalah vektor eigen dari $A$, yang masing-masing berasosiasi dengan $\lambda =1$ dan $\lambda =3$.

Rumus umum untuk nilai-nilai eigen dari matriks dimensi dua

Nilai-nilai eigen dari matriks real $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ adalah

$$\lambda ={\frac {1}{2}}(a+d)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}(a-d)\right)^{2}+bc}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left(\operatorname {tr} (A)^{2}\right)-4\det(A)}}\right).$$

Dengan $\operatorname {tr} (\dots )$ adalah operator trace. Nilai-nilai eigen akan selalu berupa bilangan real ketika $b$ dan $c$ memiliki tanda yang sama, karena nilai di dalam akar tidak akan bernilai negatif

Contoh matriks dimensi tiga

Misalkan sebuah matriks $A$ dengan nilai entri-entri berikut,

$$A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{bmatrix}}$$

Pertama-tama akan dihitung polinomial karakteristik $f(\lambda )$ dari matriks $A$ dengan menghitung ekspansi Laplace dari matriks $(A-\lambda I)$

$$f(\lambda )=\det(A-\lambda I)=\det {\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}$$$$f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4$$

Persamaan karakteristik $f(\lambda )=0$ memiliki akar-akar $\lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}$. Untuk $\lambda _{1}=4$, subtitusi nilai eigen ke dalam Persamaan (2) akan menghasilkan

$${\begin{aligned}(A-\lambda _{1}I)\mathbf {v} \,\,&=\mathbf {\,} \,\,\,\mathbf {0} \\{\begin{bmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$Operasi baris dasar atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya dapat diterapkan untuk mencari solusi persamaan tersebut. Alhasil, didapatkan vektor eigen $\lambda _{1}=4$ adalah $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1&4&16\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, maupun kelipatan skalar dari vektor ini.

Contoh matriks dimensi tiga dengan nilai-nilai eigen kompleks

Misalkan sebuah matriks permutasi

$$A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.$$

Matriks ini akan menggeser koordinat vektor ke atas sebesar satu posisi, dan memindahkan koordinat pertama menjadi koordinat terakhir. Polinomial karakteristik matriks ini adalah $1-\lambda ^{3}$, yang memiliki akar-akar

$${\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$$

dengan $i$ adalah unit imajiner yang memiliki sifat $i^{2}=-1$. Untuk nilai eigen real $\lambda _{1}=1$, sembarang vektor dengan semua entrinya bernilai sama adalah vektor eigen. Sebagai contoh,$$A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.$$

Sedangkan untuk dua nilai eigen lainnya, yang merupakan pasangan bilangan kompleks konjugat, akan memenuhi hubungan $$\lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.$$Maka vektor eigen mereka masing-masing adalah $$A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},$$dan $$A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$$Dengan demikian, dua vektor yang lain dari $A$ merupakan vektor kompleks, yakni $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ dan $\mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ yang masing-masing berasosiasi dengan nilai eigen $\lambda _{2}$ dan $\lambda _{3}$. Dua vektor kompleks ini juga merupakan pasangan kompleks konjugat, karena $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.$

Contoh matriks diagonal

Matriks dengan entri-entri tak nol hanya terletak sepanjang diagonal utama disebut dengan matriks diagonal. Nilai-nilai eigen dari matriks diagonal adalah nilai-nilai sepanjang diagonal utama matriks itu sendiri. Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks $$A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.$$Polinomial karakteristik dari $A$ adalah $|A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda )$, yang memiliki akar-akar $\lambda _{1}=1$, $\lambda _{2}=2$, dan $\lambda _{3}=3$. Akar-akar ini merupakan nilai-nilai eigen dari $A$, sekaligus terletak di diagonal utama matriks $A$. Setiap elemen diagonal utama berasosiasi dengan suatu vektor eigen yang memiliki komponen tidak nol hanya pada komponen yang sama dengan komponen elemen diagonal utama tersebut. Pada contoh ini, masing-masing nilai eigen berasosiasi dengan vektor-vektor eigen $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, dan $\mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.

Contoh matriks segitiga

Suatu matriks dengan semua entri di atas diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga bawah, sedangkan matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga atas. Sama seperti matriks diagonal, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga terletak pada diagonal utama. Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks segitiga bawah, $$A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.$$Polinomial karakteristik dari $A$ adalah $|A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda )$, yang memiliki akar-akar $\lambda _{1}=1$, $\lambda _{2}=2$, dan $\lambda _{3}=3$. Nilai-nilai eigen ini masing-masing berasosiasi dengan vektor eigen $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}2&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0&1&-3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, dan $\mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.

Contoh matriks dengan nilai eigen yang berulang

Serupa dengan contoh sebelumnya, matriks segitiga bawah $$A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},$$memiliki polinomial karakteristik sebagai hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya, yakni $$|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.$$Akar-akar dari polinomial ini, yang juga menjadi nilai-nilai eigen, adalah 2 dan 3. Kegandaan aljabar setiap nilai eigen adalah 2, karena mereka masing-masing merupakan akar ganda. Jumlah dari semua kegandaan aljabar adalah $\gamma _{a}=4=n$, yakni derajat polinomial karakteristik dan dimensi dari matriks $A$. Di sisi lain, kegandaan geometrik dari $\lambda =2$ hanya bernilai 1, karena ruang eigen dari nilai eigen ini hanya dibangun oleh sebuah vektor ${\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$; mengakibatkan ruang eigen hanya berdimensi 1. Serupa dengan itu, kegandaan geometrik dari $\lambda =3$ juga bernilai 1 karena ruang eigennya hanya dibangun oleh sebuah vektor ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$. Total kegandaan geometrik, $\gamma _{A}$, bernilai dua; ini adalah nilai terkecil yang mungkin bagi sembarang matriks dengan dua nilai eigen yang berbeda.

Sejarah

Nilai-nilai eigen umum diperkenalkan dalam konteks aljabar linear atau teori matriks. Namun secara historis, mereka muncul dalam studi mengenai bentuk kuadratik dan persamaan diferensial.

Pada abad ke-18, Leonhard Euler mempelajari gerakan rotasi dari benda tegar, dan menemukan pentingnya konsep poros utama (principal axes). Tepatnya tahun 1751, Leonhard Euler membuktikan bahwa setiap benda memiliki suatu poros rotasi utama (principal axis of rotation). Hasil ini dikembangkan oleh Johann Andreas Segner, yang pada tahun 1755 membuktikan setiap benda memiliki tiga poros rotasi utama. Joseph-Louis Lagrange selanjutnya menyadari bahwa poros-poros utama adalah vektor-vektor eigen dari matriks inersia.

Pada awal abad ke-19, Augustin Louis Cauchy melihat bagaimana karya-karya mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasi kurva kuadratik (quadric surfaces), lalu memperumumnya ke sembarang dimensi. Karya tulis Cauchy juga berpengaruh terhadap perkembangan teori spektral pada awal tahun 1870. Cauchy juga mencetuskan istilah racine caractéristique (akar karakteristik), yang sekarang disebut sebagai nilai eigen; istilah lain yang ia cetuskan dan masih bertahan saat ini adalah persamaan karakteristik. Selanjutnya, Joseph Fourier menggunakan karya Lagrange dan Pierre-Simon Laplace untuk menyelesaikan persamaan panas dengan pemisahan variabel, dalam buku tahun 1822-nya yang terkenal, Théorie analytique de la chaleu (Teori analitik tentang panas). Charles-François Sturm mengembangkan ide Fourier lebih jauh, dan menarik perhatian Cauchy, yang menggabungkan ide-ide mereka dengan idenya sendiri, dan menghasilkan bukti bahwa matriks simetrik real akan memiliki nilai-nilai eigen real. Hasil ini diperumum oleh Charles Hermite pada tahun 1855, yang memperkenalkan matriks Hermite.

Di saat yang bersamaan, Francesco Brioschi membuktikan nilai-nilai eigen dari matriks ortogonal terletak pada lingkaran satuan, dan Alfred Clebsch menemukan bukti yang serupa untuk matriks skew-symmetric. Karl Weierstrass mengklarifikasi aspek penting dalam teori stabilitas yang dibuat oleh Laplace, dengan membuktikan matriks defektif dapat menyebabkan ketidakstabilan. Joseph Liouville mempelajari masalah-masalah nilai eigen yang mirip dengan masalah yang dikerjakan Sturm; menghasilkan disiplin ilmu yang saat ini dikenal dengan teori Sturm-Liouville. Memasuki akhir abad ke-19, Schwarz mempelajari nilai eigen pertama dari persamaan Laplace secara umum, sedangkan Poincaré mempelajari persamaan Poisson beberapa tahun berikutnya.

Di awal abad ke-20, David Hilbert mempelajari nilai-nilai eigen dari operator integral dengan menganggap operator tersebut sebagai matriks [dengan ukuran] tak berhingga. Ia adalah yang pertama menggunakan kata German eigen, yang berarti "diri sendiri" untuk menyebut nilai dan vektor eigen pada tahun 1904, walau ada kemungkinan ia mengikuti istilah yang digunakan oleh Hermann von Helmholtz. Untuk beberapa waktu, istilah yang digunakan dalam bahasa Inggris adalah "proper value" (nilai yang tepat), namun istilah "eigenvalue" menjadi standar saat ini. Sedangkan dalam Bahasa Indonesia, Pusat Bahasa memadankan istilah "eigenvalue" istilah "eigennilai". Namun saat ini, istilah "nilai eigen" lebih populer digunakan.

Algoritma numerik pertama untuk menghitung nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen muncul pada tahun 1929, saat Richard von Mises mempublikasikan metode pangkat. Salah satu metode yang populer saat ini adalah algoritma QR, yang diusulkan secara terpisah oleh John G. F. Francis dan Vera Kublanovskaya pada tahun 1961.

Metode penyelesaian

Artikel utama: Algoritma nilai eigen

Teori tentang cara menentukan nilai dan vektor eigen, seperti yang disajikan dalam buku-buku aljabar linear dasar, umumnya tidak digunakan dalam praktiknya.

Metode klasik

Metode klasik bekerja dengan mencari nilai-nilai eigen terlebih dahulu, lalu menentukan vektor-vektor eigen untuk setiap nilai eigen. Dalam beberapa cara metode ini tidak sesuai untuk aritmetika non-eksak (non-exact arithmetics) seperti floating-point.

Nilai-nilai eigen dari suatu matriks $A$ dapat ditentukan dengan mencari akar-akar polinomial karakteristik. Hal ini sederhana untuk matriks berukuran $2\times 2$, namun kesulitan akan meningkat dengan sangat cepat sebanding dengan ukuran matriks. Dalam teori, koefisien-koefisien dari polinomial karakteristik dapat dihitung secara eksak karena mereka adalah hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks; lagipula ada beberapa algoritma yang dapat mencari akar-akar dari polinomial dengan sembarang derajat akurasi yang diinginkan. Namun cara tidak dapat dilakukan dalam praktik karena koefisien-koefisien akan terkontaminasi dengan galat pembulatan, sedangkan akar-akar polinomial dapat sangat sensitif terhadap perubahan koefisien-koefisien (seperti yang dicontohkan pada polinomial Wilkinson). Bahkan untuk matriks yang setiap entrinya berupa bilangan bulat, kalkulasi tetap membutuhkan banyak operasi penjumlahan.

Rumus aljabar untuk mencari akar-akar polinomial secara eksplisit hanya ada jika derajat polinomial $n\leq 4$. Berdasarkan teorema Abel-Ruffini, tidak ada rumus aljabar eksak yang eksplisit, untuk mencari akar-akar polinomial derajat 5 atau lebih. Hal ini menyebabkan nilai dan vektor eigen dari matriks berorde 5 atau lebih, perlu dicari sebagai hampiran/perkiraan dengan metode numerik. Bahkan rumus eksplisit untuk akar-akar polinomial derajat 3 sudah tidak praktis secara numerik.

Setelah nilai (eksak) dari nilai eigen diketahui, vektor-vektor yang berasosiasi dengannya dapat dicari dengan mencari solusi tak nol dari persamaan nilai eigen; dengan kata lain, menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear.

Metode iteratif sederhana

Artikel utama: Metode pangkat

Pendekatan sebaliknya, yakni dengan mencari vektor-vektor eigen lalu menentukan nilai eigen yang berasosiasi dengannya, ternyata lebih mudah dikerjakan oleh komputer. Algoritma yang paling sederhana dilakukan dengan mengambil sembarang vektor awal, lalu secara berulang mengalikannya dengan matriks $A$ (dan secara opsional juga melakukan normalisasi agar ukuran vektor tetap wajar); hal ini akan membuat vektor menghampiri suatu vektor eigen. Iterasi invers sebagai salah satu variasi, mengalikan vektor dengan matriks $(A-\mu I)^{-1}$; hal ini menyebabkan vektor untuk menghampiri vektor eigen dengan nilai eigen yang nilainya sedekat mungkin dengan $\mu \in \mathbb {C}$.

Jika $\mathbf {v}$ adalah (perkiraan hampiran yang bagus dari) sebuah vektor eigen dari $A$, maka nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor tersebut dihitung lewat$$\lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}$$dengan $\mathbf {v} ^{*}$ menyatakan transpos konjugat dari $\mathbf {v}$.

Metode modern

Metode yang efisien dan akurat untuk menghitung nilai dan vektor eigen dari sembarang matriks tidak diketahui, sampai saat algoritma QR berhasil dikembangkan pada tahun 1961. Algoritma dengan menggabungkan transformasi Householder dengan dekomposisi LU menghasilkan hampiran yang lebih baik ketimbang algoritma QR. Untuk matriks Hermite yang rongga, algoritma Lanczos adalah salah satu contoh metode iteratif yang efisien untuk menghitung nilai dan vektor eigen.

Banyak metode numerik yang menghitung nilai-nilai eigen dari matriks juga menghasilkan vektor-vektor eigen sebagai produk sampingan, tapi terkadang hal ini tidak dibutuhkan pada masalah yang dikerjakan, sehingga informasi vektor-vektor eigen ini langsung dibuang.