Faktor persekutuan terbesar

Lantai berukuran 24 kali 60, dapat dipotong menjadi persegi berukuran 12 kali 12. Secara umum, persegi panjang dengan ukuran a kali b dapat dibagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi c jika c adalah faktor persekutuan dari a dan b.

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.

Definisi

Suatu bilangan $c$ disebut faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ jika $c$ habis membagi bilangan $a$ dan $b$ sekaligus.

Suatu bilangan $d$ disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:^[1]

$d$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ ; dan
jika $c$ faktor persekutuan bilangan $a$ dan $b$ maka berlaku $c\leq d$

bilangan $d$ ditulis sebagai $FPB(a,b)$ ^[2] atau $(a,b)$ ^[1].

Peristilahan

Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar,^[3] atau pembagi bersama terbesar,^[4] dilambangkan dengan ${\text{PBT}}(a,b)$ . Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi ${\text{gcd}}(a,b)$ , berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.^[5]

Contoh

Faktor dari $12$ adalah $1,2,3,{\color {red}{4}},6,12$
Faktor dari $20$ adalah $1,2,{\color {red}{4}},5,10,20$

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan $\operatorname {FPB} (12,20)=4$ .

Perhitungan FPB

Faktorisasi prima

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh $60={\color {red}{2}}^{2}\times {\color {red}{3}}\times 5$ dan $24={\color {red}{2}}^{3}\times {\color {red}{3}}$ . Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}\times 3=12$ .

Algoritma Euklides

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan $a$ dan $b$ adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Sifat

Untuk sebarang bilangan bulat $a,b,c$ , dengan $|a|$ adalah nilai multak dari $a$ , berlaku:

Sifat komutatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)$ .
Sifat asosiatif, yaitu $\operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)$ .
Sifat distributif, yaitu $\operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)$
Jika $c$ faktor persekutuan $a$ dan $b$ , maka $c\mid \operatorname {FPB} (a,b)$ , dan $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}$ , sehingga jika $d=\operatorname {FPB} (a,b)$ maka $\operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1$
$\operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)$
$\operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)$
$\operatorname {FPB} (a,0)=|a|$
$\operatorname {FPB} (a,1)=1$
Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b$ , $\operatorname {FPB} (a,b)=b$ jika dan hanya jika $b$ habis membagi $a$ .

Koprima

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.^[6]

Penerapan

Menyederhanakan pecahan

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan^[7]. Sebagai contoh, pecahan ${\frac {4}{8}}$ dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari $4$ dan $8$ adalah $\operatorname {FPB} (4,8)=2$ . Kita tuliskan sebagai

{\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}

.

Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

$\operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}$ .^[8]

Lihat pula

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Rujukan

^ ^a ^b Sukirman (2016). Teori Bilangan. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1.
^ Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.
^ Achmad Arifin (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6.
^ Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1.
^ Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan. Yogyakarta: Matematika.
^ Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20.
^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21.
^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21.

[:02-1] Sukirman (2016). Teori Bilangan. Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1.

[2] Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.

[3] Achmad Arifin (2000). Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6.

[4] Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika. Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1.

[5] Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan. Yogyakarta: Matematika.

[:0-6] Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06. Diakses tanggal 2021-11-20.

[7] "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29. Diakses tanggal 2021-11-21.

[8] Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16. Diakses tanggal 2021-11-21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]