Logaritma alami dari 2
Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan (barisan A002162 pada OEIS) kira-kira
- .
Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus
Logaritma umum secara khusus adalah A007524
- .
Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:
Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.
Wakilan deret
[sunting | sunting sumber]Faktorial bolak-balik menaik
[sunting | sunting sumber]- . Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
- .
- .
- .
- .
- .
Faktorial konstanta menaik biner
[sunting | sunting sumber]- .
- .
- .
- .
- .
Wakilan deret lainnya
[sunting | sunting sumber]- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- menggunakan .
- (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).
Melibatkan fungsi zeta Riemann
[sunting | sunting sumber]- .
- .
- .
( adalah konstanta Euler−Mascheroni dan adalah fungsi zeta Riemann.)
Wakilan tipe-BBP
[sunting | sunting sumber](Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).)
Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:
- .
- .
- .
Menerapkannya untuk memberikan:
- .
- .
- .
Menerapkannya untuk memberikan:
- .
- .
- .
Menerapkannya untuk memberikan:
- .
- .
- .
Wakilan sebagai integral
[sunting | sunting sumber]Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk
- .
- .
- .
Wakilan lainnya
[sunting | sunting sumber]Pengembangan Piercenya adalah A091846
Pengembangan Engelnya adalah A059180
Pengembangan kotangennya adalah A081785
Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah A016730
yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah , , , , , dan .
Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:
- ,[1] dapat diekspresikan sebagai
Bootstrap logaritma lainnya
[sunting | sunting sumber]Diberikan sebuah nilai dari , sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit berdasarkan faktorisasinya
Ini memakai
Bilangan prima | Memperkirakan logaritma natural | OEIS |
---|---|---|
2 | A002162 | |
3 | A002391 | |
5 | A016628 | |
7 | A016630 | |
11 | A016634 | |
13 | A016636 | |
17 | A016640 | |
19 | A016642 | |
23 | A016646 | |
29 | A016652 | |
31 | A016654 | |
37 | A016660 | |
41 | A016664 | |
43 | A016666 | |
47 | A016670 | |
53 | A016676 | |
59 | A016682 | |
61 | A016684 | |
67 | A016690 | |
71 | A016694 | |
73 | A016696 | |
79 | A016702 | |
83 | A016706 | |
89 | A016712 | |
97 | A016720 |
DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional dihitung dengan menggunakan , dan logaritma akar melalui .
Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari yang mendekati dengan pangkat dari bilangan lainnya relatif mudah, dan representasi deret dengan menggabungkan ke dengan perubahan logaritmik.
Contoh
[sunting | sunting sumber]Jika dengan beberapa , maka dan karena itu
Memilih mewakili oleh dan sebuah deret dari sebuah parameter yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil , sebagai contoh, menghasilkan
- :
Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:
1 | 3 | 1 | 2 | |
1 | 3 | 2 | 2 | |
2 | 3 | 3 | 2 | |
5 | 3 | 8 | 2 | |
12 | 3 | 19 | 2 | |
1 | 5 | 2 | 2 | |
3 | 5 | 7 | 2 | |
1 | 7 | 2 | 2 | |
1 | 7 | 3 | 2 | |
5 | 7 | 14 | 2 | |
1 | 1 | 3 | 2 | |
2 | 11 | 7 | 2 | |
11 | 11 | 38 | 2 | |
1 | 13 | 3 | 2 | |
1 | 13 | 4 | 2 | |
3 | 13 | 11 | 2 | |
7 | 13 | 26 | 2 | |
10 | 13 | 37 | 2 | |
1 | 17 | 4 | 2 | |
1 | 19 | 4 | 2 | |
4 | 19 | 17 | 2 | |
1 | 23 | 4 | 2 | |
1 | 23 | 5 | 2 | |
2 | 23 | 9 | 2 | |
1 | 29 | 4 | 2 | |
1 | 29 | 5 | 2 | |
7 | 29 | 34 | 2 | |
1 | 31 | 5 | 2 | |
1 | 37 | 5 | 2 | |
4 | 37 | 21 | 2 | |
5 | 37 | 26 | 2 | |
1 | 41 | 5 | 2 | |
2 | 41 | 11 | 2 | |
3 | 41 | 16 | 2 | |
1 | 43 | 5 | 2 | |
2 | 43 | 11 | 2 | |
5 | 43 | 27 | 2 | |
7 | 43 | 38 | 2 |
Dimulai dari logaritma natural dari , salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:
10 | 2 | 3 | 10 | |
21 | 3 | 10 | 10 | |
3 | 5 | 2 | 10 | |
10 | 5 | 7 | 10 | |
6 | 7 | 5 | 10 | |
13 | 7 | 11 | 10 | |
1 | 11 | 1 | 10 | |
1 | 13 | 1 | 10 | |
8 | 13 | 9 | 10 | |
9 | 13 | 10 | 10 | |
1 | 17 | 1 | 10 | |
4 | 17 | 5 | 10 | |
9 | 17 | 11 | 10 | |
3 | 19 | 4 | 10 | |
4 | 19 | 5 | 10 | |
7 | 19 | 9 | 10 | |
2 | 23 | 3 | 10 | |
3 | 23 | 4 | 10 | |
2 | 29 | 3 | 10 | |
2 | 31 | 3 | 10 |
Digit yang diketahui
[sunting | sunting sumber]Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit . Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural [2][3] dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.
Tanggal | Nama | Jumlah digit |
---|---|---|
7 Januari 2009 | A Yee & R Chan | 15,500,000,000 |
4 Februari 2009 | A Yee & R Chan | 31,026,000,000 |
21 Februari 2011 | Alexander Yee | 50,000,000,050 |
14 Maret, 2011 | Shigeru Kondo | 100,000,000,000 |
28 Februari 2014 | Shigeru Kondo | 200,000,000,050 |
12 Juli 2015 | Ron Watkins | 250,000,000,000 |
30 Januari 2016 | Ron Watkins | 350,000,000,000 |
18 April 2016 | Ron Watkins | 500,000,000,000 |
10 Desember 2018 | Michael Kwok | 600,000,000,000 |
26 April 2019 | Jacob Riffee | 1,000,000,000,000 |
19 Agustus 2020 | Seungmin Kim[4][5] | 1,2000,000,000,100 |
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana sangat menonjol
- Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana sangat menonjol
- Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari .
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Brent, Richard P. (1976). "Fast multiple-precision evaluation of elementary functions". J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314.
- Uhler, Horace S. (1940). "Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033 . PMID 16588339.
- Sweeney, Dura W. (1963). "On the computation of Euler's constant". Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR 0160308.
- Chamberland, Marc (2003). "Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes" (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-06-06. Diakses tanggal 2010-04-29.
- Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas" (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048.
- Wu, Qiang (2003). "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers". Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .
- ^ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. (2004). "On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case" (PDF). Exper. Math. 13 (3): 278–280. doi:10.1080/10586458.2004.10504540.
- ^ "y-cruncher". numberworld.org. Diakses tanggal 10 December 2018.
- ^ "Natural log of 2". numberworld.org. Diakses tanggal 10 December 2018.
- ^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-09-15. Diakses tanggal September 15, 2020.
- ^ "Natural logarithm of 2 (Log(2)) world record by Seungmin Kim". Diakses tanggal September 15, 2020.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Natural logarithm of 2". MathWorld.
- table of natural logarithms, PlanetMath.org.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "The logarithm constant:log 2".