Lompat ke isi

Logaritma alami dari 2

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan (barisan A002162 pada OEIS) kira-kira

.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus

Logaritma umum secara khusus adalah OEISA007524

.

Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:

OEISA020862

Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

Wakilan deret

[sunting | sunting sumber]

Faktorial bolak-balik menaik

[sunting | sunting sumber]
  • . Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Faktorial konstanta menaik biner

[sunting | sunting sumber]
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Wakilan deret lainnya

[sunting | sunting sumber]
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • menggunakan .
  • (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

Melibatkan fungsi zeta Riemann

[sunting | sunting sumber]
  • .
  • .
  • .

( adalah konstanta Euler−Mascheroni dan adalah fungsi zeta Riemann.)

Wakilan tipe-BBP

[sunting | sunting sumber]

(Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).)

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

  • .
  • .
  • .

Menerapkannya untuk memberikan:

  • .
  • .
  • .

Menerapkannya untuk memberikan:

  • .
  • .
  • .

Menerapkannya untuk memberikan:

  • .
  • .
  • .

Wakilan sebagai integral

[sunting | sunting sumber]

Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

  • .
  • .
  • .

Wakilan lainnya

[sunting | sunting sumber]

Pengembangan Piercenya adalah OEISA091846

Pengembangan Engelnya adalah OEISA059180

Pengembangan kotangennya adalah OEISA081785

Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah OEISA016730

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah , , , , , dan .

Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:

,[1] dapat diekspresikan sebagai

Bootstrap logaritma lainnya

[sunting | sunting sumber]

Diberikan sebuah nilai dari , sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit berdasarkan faktorisasinya

Ini memakai

Bilangan prima Memperkirakan logaritma natural OEIS
2 A002162
3 A002391
5 A016628
7 A016630
11 A016634
13 A016636
17 A016640
19 A016642
23 A016646
29 A016652
31 A016654
37 A016660
41 A016664
43 A016666
47 A016670
53 A016676
59 A016682
61 A016684
67 A016690
71 A016694
73 A016696
79 A016702
83 A016706
89 A016712
97 A016720

DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional dihitung dengan menggunakan , dan logaritma akar melalui .

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari yang mendekati dengan pangkat dari bilangan lainnya relatif mudah, dan representasi deret dengan menggabungkan ke dengan perubahan logaritmik.

Jika dengan beberapa , maka dan karena itu

Memilih mewakili oleh dan sebuah deret dari sebuah parameter yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil , sebagai contoh, menghasilkan

:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:

1 3 1 2
1 3 2 2
2 3 3 2
5 3 8 2
12 3 19 2
1 5 2 2
3 5 7 2
1 7 2 2
1 7 3 2
5 7 14 2
1 1 3 2
2 11 7 2
11 11 38 2
1 13 3 2
1 13 4 2
3 13 11 2
7 13 26 2
10 13 37 2
1 17 4 2
1 19 4 2
4 19 17 2
1 23 4 2
1 23 5 2
2 23 9 2
1 29 4 2
1 29 5 2
7 29 34 2
1 31 5 2
1 37 5 2
4 37 21 2
5 37 26 2
1 41 5 2
2 41 11 2
3 41 16 2
1 43 5 2
2 43 11 2
5 43 27 2
7 43 38 2

Dimulai dari logaritma natural dari , salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

10 2 3 10
21 3 10 10
3 5 2 10
10 5 7 10
6 7 5 10
13 7 11 10
1 11 1 10
1 13 1 10
8 13 9 10
9 13 10 10
1 17 1 10
4 17 5 10
9 17 11 10
3 19 4 10
4 19 5 10
7 19 9 10
2 23 3 10
3 23 4 10
2 29 3 10
2 31 3 10

Digit yang diketahui

[sunting | sunting sumber]

Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit . Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural [2][3] dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

Tanggal Nama Jumlah digit
7 Januari 2009 A Yee & R Chan 15,500,000,000
4 Februari 2009 A Yee & R Chan 31,026,000,000
21 Februari 2011 Alexander Yee 50,000,000,050
14 Maret, 2011 Shigeru Kondo 100,000,000,000
28 Februari 2014 Shigeru Kondo 200,000,000,050
12 Juli 2015 Ron Watkins 250,000,000,000
30 Januari 2016 Ron Watkins 350,000,000,000
18 April 2016 Ron Watkins 500,000,000,000
10 Desember 2018 Michael Kwok 600,000,000,000
26 April 2019 Jacob Riffee 1,000,000,000,000
19 Agustus 2020 Seungmin Kim[4][5] 1,2000,000,000,100

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. (2004). "On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case" (PDF). Exper. Math. 13 (3): 278–280. doi:10.1080/10586458.2004.10504540. 
  2. ^ "y-cruncher". numberworld.org. Diakses tanggal 10 December 2018. 
  3. ^ "Natural log of 2". numberworld.org. Diakses tanggal 10 December 2018. 
  4. ^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-09-15. Diakses tanggal September 15, 2020. 
  5. ^ "Natural logarithm of 2 (Log(2)) world record by Seungmin Kim". Diakses tanggal September 15, 2020. 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]