Notasi ungkapan himpunan

$\{n\in \mathbb {Z} \mid (\exists k\in \mathbb {Z} )[n=2k]\}$

Himpunan semua bilangan bulat genap
diungkapkan dalam notasi ungkapan himpunan.

Dalam teori himpunan, dan penerapannya dalam logika, matematika, dan ilmu komputer, notasi pembentuk himpunan (juga disebut notasi ungkapan himpunan) merupakan sebuah notasi matematis untuk menjelaskan suatu himpunan dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi anggota himpunan tersebut.

Mendefinisikan himpunan-himpunan oleh sifat-sifat juga dikenal sebagai pemahaman himpunan, keniskalaan himpunan atau sebagai mendefinisikan "intensi" (bahasa Inggris: intension) suatu himpunan.

Menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan secara langsung dengan menyebut satu demi satu semua unsurnya antara kurung kurawal, seperti:

• $\{7,3,15,31\}$ adalah himpunan berisi empat bilangan, 3, 7, 15, dan 31, dan tidak ada lagi.
• $\{a,c,b\}=\{a,b,c\}$ adalah himpunan berisi $a$, $b$, dan $c$, dan tidak ada lagi (tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan).

Ini terkadang disebut "metode daftar" untuk menentukan sebuah himpunan.

Notasi elipsis dapat digunakan apabila hendak melambangkan himpunan yang berisi unsur-unsur dari sebuah barisan beraturan, seperti:

• $\{1,2,3,\dots ,100\}$ adalah himpunan bilangan bulat antara 1 dan 100, temasuk 1 san 100 itu.
• $\{1,2,3,\dots \}$ adalah himpunan bilangan asli.
• $\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}=\{0,1,-1,2,-2,\dots \}$ adalah himpunan semua bilangan bulat.

Tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan (ini menjelaskan keabsahan kesamaan dari contoh terakhir di atas), tapi dengan notasi elipsis, kita menggunakan sebuah barisan terurut sebelum (atau setelah) elipsisnya sebagai sebuah pembawa notasi konvensional untuk menjelaskan yang mana unsur-unsurnya ada di dalam sebuah himpunan. Beberapa unsur pertama dari barisan ditunjukkan, maka elipsisnya mengindikasikan bahwa interpretasi paling sederhana harus diterapkan untuk melanjutkan barisan. Tidak harus mengakhiri nilai yang muncul ke sebelah kanan dari elipsis, maka barisannya dianggap menjadi tak terbatas.

Umumnya, $\{1,\dots ,n\}$ melambangkan himpunan semua bilangan asli $i$ sehingga $1\leq i\leq n$. Notasi lainnya untuk $\{1,\dots ,n\}$ adalah notasi kurung siku $[n]$. Sebuah kasus khusus yang halus adalah $n=0$, yang mana $[0]=\{1,\dots ,0\}$ sama dengan himpunan kosong $\emptyset$. Dengan cara yang serupa, $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ melambangkan himpunan semua $a_{i}$ untuk $1\leq i\leq n$.

Dalam setiap contoh sebelumnya, setiap himpunan digambarkan dengan menyebut unsurnya satu demi satu. Tidak semua himpunan dapat digambarkan dalam hal ini, atau jika dapat, menyebut satu demi satunya dapat menjadi terlalu lama atau terlalu rumit untuk digunakan. Oleh karena itu, banyak himpunan dapat didefinisikan oleh sebuah sifat yang mencirikan unsur-unsurnya. Pencirian ini dapat diselesaikan secara informal menggunakan gancaran umum, seperti di contoh berikutnya.

• $\{$ beralamat Jl. Nenas $\}$ merupakan himpunan semua tempat yang beralamat di Jl. Nenas.

Namun, pendekatan gancarannya dapat mengurangi ketepatan atau menjadi ambigu. Dengan demikian, notasi ungkapan himpunan sering kali digunakan dengan sebuah predikat mencirikan unsurnya dari himpunan menjadi terdefinisikan.

Menyatakan himpunan dengan notasi ungkapan himpunan

Notasi ungkapan himpunan dapat digunakan untuk menjelaskan himpunan-himpunan yang didefinisikan oleh suatu predikat, daripada penyebutan satu demi satu secara eksplisit. Dalam bentuk ini, notasi ungkapan himpunan memiliki tiga bagian: peubah, tanda pemisah yaitu tanda titik dua atau garis vertikal, dan predikat. Sehingga peubah terletak di sebelah kiri, dan predikat yang menjadi sifat himpunan berada di sebelah kanan. Tiga bagian berisi di dalam kurung kurawal, seperti:

$\{x\mid \Phi (x)\}$

atau

$\{x:\Phi (x)\}$

Garis vertikal (atau tanda titik dua) merupakan sebuah pemisah yang dapat dibaca sebagai "sedemikian sehingga". "untuk yang", atau "dengan sifatnya bahwa". Rumus $\Phi (x)$ dikatakan menjadi kaidah atau predikat. Semua nilai $x$ untuk yang predikatnya berlaku (adalah benar) menjadi miliki himpunan telah didefinisikan. Semua nilai $x$ untuk yang predikatnya tidak berlaku tidak menjadi milik himpunannya. Demikian, $\{x\mid \Phi (x)\}$ adalah himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi rumus $\Phi$. Ini dapat menjadi himpunan kosong, jika tidak ada nilai $x$ memenuhi rumusnya.

Menentukan daerah asal

Sebuah daerah asal $E$ dapat muncul di sebelah kiri dari garis vertikal:

$\{x\in E\mid \Phi (x)\}$

atau dengan berdampingannya menjadi predikat:

$\{x\mid x\in E{\text{ dan }}\Phi (x)\}\quad {\text{atau}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}$

Simbol $\in$ disini melambangkan anggota himpunan, sedangkan simbol $\land$ melambangkan operator logis "dan", dikenal sebagai konjungsi logis. Notasi ini mewakili himpunan semua nilai $x$$x$ yang menjadi miliki suatu himpunan $E$ yang diberikan yang predikatnya adalah benar (lihat "Aksioma keberadaan himpunan". Jika $\Phi (x)$ adalah sebuah konjugnsi $\Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)$, maka $\{x\in E\mid \Phi (x)\}$ terkadang ditulis $\{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}$, menggunakan sebuah koma sebagai ganti dari simbol $\land$.

Umumnya, ini bukanlah sebuah ide yang baik untuk menganggap himpunan tanpa menentukan sebuah daerah asal, karena ini akan mewakili himpunan bagian dari semua kemungkinan hal-hal yang mungkin ada untuk yang predikatnya adalah benar. Ini dapat dengan mudah mengarah ke kontradiksi dan paradoks. Misalnya, paradoks Russell menunjukkan bahwa ungkapan $\{x\mid x\notin x\}$, meskipun tampaknya dibentuk dengan baik sebagai sebuah notasi ungkapan himpunan, tidak dapat mendefinisikan sebuah himpunan tanpa menghasilkan sebuah kontradiksi.

Dalam kasus dimana himpunan $E$ jelas dari konteks, ini mungkin tidak ditentukan secara eksplisit. Ini biasanya dalam sastra untuk sebuah penulis untuk menyatakan daerah asal sebelumnya, dan kemudian tidak menentukannya dalam notasi ungkapan himpunan. Contohnya, seorang penulis dapat mengatakan sesuatu sebagai, "Kecuali jika tidak dinyatakan, peubah-peubahnya harus diambil menjadi bilangan asli."

Contoh-contoh

Contoh-contoh berikut mengilustrasikan himpunan-himpunan khusus didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan melalui predikat-predikat. Dalam setiap kasus, daerah asalnya ditentukan di sebelah kiri dari garis vertikal, sedangkan kaidahnya ditentukan di sebelah kanan.

• $\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}$ merupakan himpunan semua bilangan real positif sempurna, yang dapat ditulis dalam notasi selang sebagai $(0,\infty )$.
• $\{x\in \mathbb {R} \mid \left|x\right|=1\}$ merupakan himpaunn dari $\{-1,1\}$. Himpunan ini dapat juga didefinisikan sebagai $\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}$; lihat predikat yang setara menghasilkan himpunan yang sama di bawah.
• Untuk setiap bilangan bulat $m$, kita dapat mendefinisikan $G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}$. Sebagai sebuah contoh, $G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}$ dan $G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}$.
• $\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}$ merupakan himpunan pasangan bilangan real sehingga $y$ lebih besar dari $0$ dan lebih kecil dari $f(x)$, untuk sebuah fungsi $f$ yang diberikan. Disini darab Cartesius $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ melambangkan himpunan pasangan terurut bilangan real.
• $\{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}$ merupakan himpunan semua bilangan asli genap. Tanda $\wedge$ merupakan kepanjangan dari "dan", yang dikenal sebagai konjungsi logis. Tanda $\exists$ merupakan kepanjangan dari "terdapat adanya", yang dikenal sebagai kuantifikasi eksistensial. Jadi misalnya, $(\exists x)P(x)$ dibaca sebagai "terdapat adanya sebuah $x$ sehingga $P(x)$".
• $\{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}$ merupakan sebuah ragam notasi untuk himpunan yang sama mengenai bilangan asli genap. Ini tidak perlu untuk menentukan bahwa $n$ adalah sebuah bilangan asli, karena ini disiratkan oleh rumus di sebelah kanan.
• $\{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}$ merupakan himpunan bilangan rasional; yaitu, bilangan real yang dapat ditulis sebagai nisbah dua bilangan bulat.

Ungkapan yang lebih kompleks di sebelah kiri notasi

Sebuah perluasan notasi ungkapan himpunan menggantikan peubah tunggal $x$ dengan sebuah ungkapan. Jadi sebagai gantinya $\{x\mid \Phi (x)\}$, kita mungkin memiliki $\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\}$ yang seharusnya dibaca

$\{\Psi (x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists (x),y=\Psi (x){\text{ dan }}\Phi (x)\}$

Contohnya:

• $\{2n\mid n\in \mathbb {N} \}$, dimana $\mathbb {N}$ adalah himpunan semua bilangan asli, merupakan himpunan semua bilangan asli genap.
• $\{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}$, dimana $\mathbb {Z}$ adalah himpunan semua bilangan bulat, adalah $\mathbb {Q}$, himpunan semua bilangan rasional.
• $\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}$ adalah himpunan bilangan bulat ganjil.
• $\{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}$ menciptakan sebuah himpunan pasangan, dimana setiap pasangan menaruh padanan ke dalam sebuah bilangan bulat dengan sebuah bilangan bulat ganjil.

Ketika fungsi invers dapat dinyatakan secara eksplisit, ungkapannya di sebelah kiri dapat dieliminasikan melalui substitusi sederhana. Anggap himpunan contohnya $\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}$. Buat substitusi $u=2t+1$, yang berarti $t={\frac {u-1}{2}}$, kemudian menggantikan $t$ dalam notasi ungkapan himpunan untuk mencari

$\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}$

Predikat yang setara menghasilkan himpunan yang sama

Dua himpunan dapat dikatakan sama jika dan hanya jika mereka memiliki unsur yang sama. Himpunan didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan adalah sama jika dan hanya jika kaidah ungkapan himpunannya, termasuk penentu daerah asalnya, adalah setara. Yakni

$\{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}$

jika dan hanya jika

$(\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]$

Oleh karena itu, dengan tujuan untuk membuktikan persamaan dua himpunan didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan, ini cukup untuk membuktikan kesetaraan predikatnya, termasuk pemberi sifat daerah asal.

Contohnya,

$\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}$

karena dua predikat kaidahnya adalah setara secara logis:

$(x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1)$

Kesetaraan ini berlaku karena, untuk suatu bilangan real $x$, kita memiliki $x^{2}=1$ jika dan hanya jika $x$ adalah sebuah bilangan rasional dengan $\left|x\right|=1$. Khususnya, kedua himpunan sama dengan himpunan $\{-1,1\}$.

Aksioma keberadaan himpunan

Dalam banyak teori himpunan formal, seperti teori himpunan Zermelo–Fraenkel, notasi ungkapan himpunan bukanlah bagian dari sintaks formal dari teorinya. Sebagai gantinya, terdapat sebuah skema aksioma keberadaan himpunan, yang menyatakan bahwa jika $E$ adalah sebuah himpunan dan $\Phi (x)$ adalah sebuah rumus dalam bahasa teori himpunan, maka terdapat sebuah himpunan $Y$ yang anggotanya persis unsur $E$ yang memenuhi $\Phi$:

$(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)]$

Himpunan $Y$ diperoleh dari aksioma ini persis himpunan yang digambarkan dalam notasi ungkapan himpunan sebagai $\{x\in E\mid \Phi (x)\}$.

Paralel dalam bahasa pemrograman

Sebuah notasi yang serupa tersedia dalam jumlah bahasa pemrograman (terutama Python dan Haskell) adalah daftar pemahaman, yang menggabungkan operasi peta dan tapis pada satu daftar atau lebih.

Di Python, penjepit ungkapan himpunan digantikan dengan kurung siku persegi "[]", kurung "()", atau kurung kurawal "{}", memberikan daftar, pembangkit, dan objek himpunan, masing-masing. Python menggunakan sebuah sintaks berbasis Inggris. Haskell menggnatikan penjepit ungkapan himpunan dengan kurung siku persegi dan menggunakan simbol, termasuk garis vertikal ungkapan himpunan standar.

Hal yang sama dapat diperoleh di Scala menggunakan Sequence Comprehensions, dimana kata kunci "for" sesuai dengan sebuah daftar dari peubah yang dihasilkan menggunakan kata kunci "yield".

Anggaplah contoh-contoh notasi ungkapan himpunan ini dalam beberapa bahasa pemrograman:

	Contoh 1	Contoh 2
Ungkapan himpunan	$\{l\ |\ l\in L\}$	$\{(k,x)\ |\ k\in K\wedge x\in X\wedge P(x)\}$
Python	{l for l in L}	{(k, x) for k in K for x in X if P(x)}
Haskell	[l | l <- ls]	[(k, x) | k <- ks, x <- xs, p x]
Scala	for (l <- L) yield l	for (k <- K; x <- X if P(x)) yield (k,x)
C#	from l in L select l	from k in K from x in X where P(x) select (k,x)
SQL	SELECT l FROM L_set	SELECT k, x FROM K_set, X_set WHERE P(x)

Notasi ungkapan himpunannya dan daftar notasi pemahaman adalah keduanya contoh notasi lebih umum dikenal sebagai pemahaman monad, yang membiarkan operasi seperti peta/tapis pada suatu monad dengan sebuah unsur nol.

Lihat pula

• Glosarium teori himpunan