Persamaan Poisson

Dalam ilmu matematika, persamaan Poisson adalah suatu persamaan diferensial parsial jenis eliptik yang juga banyak digunakan dalam fisika. Persamaan ini muncul salah satunya dalam menjelaskan pengaruh medan potensial, misalnya pengaruh medan potensial muatan listrik terhadap medan elektrostatik. Persamaan ini merupakan generalisasi dari persamaan Laplace, yakni $\Delta \varphi =0$ dengan $\Delta$ merupakan operator Laplace$\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$. Persamaan ini diberi nama berdasarkan Matematikawan, ahli geometri, dan Fisikawan Prancis Siméon Denis Poisson.

Persamaan

Persamaan Poisson adalah

$\Delta \varphi =f$

dengan $f$ dan $\varphi$ merupakan suatu fungsi bernilai real atau kompleks pada suatu manifold. Fungsi $f$ biasanya merupakan ekspresi yang diberikan dan $\varphi$ dicari sebagai solusi dari persamaan. Ketika $f=0$, persamaan ini tereduksi menjadi persamaan Laplace. Dalam bidang tiga dimensi, persamaan ini mempunyai bentuk

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)$

Solusi dari persamaan ini dapat diberikan dengan memanfaatkan fungsi Green untuk menghasilkan

$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\!r$

Selain solusi analitik, umumnya dicari juga solusi numeriknya dengan berbagai metode numerik.