Perubahan basis
Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan -skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, namun atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.[1][2][3]
Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai
dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, dan adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.
Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.
Contoh
[sunting | sunting sumber]Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides yang dihasilkan dari rotasi sebesar Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar dan sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi dan sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagaiRumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat maka
Sehingga,
Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan dan merujuk pada objek yang sama,
Rumus perubahan basis
[sunting | sunting sumber]Misalkan adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga V atas suatu lapangan F.[a] Seorang dapat mendefinisikan elemen baru (dengan ) berdasarkan koordinat vektor tersebut , atas
Misalkan
sebagai matriks yang kolom ke-j-nya dibentuk dari koordinat . (Di bagian ini dan seterusnya, indeks i selalu digunakan untuk merujuk baris di dan sedangkan indeks j selalu digunakan untuk merujuk kolom di dan konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut disebut basis dari V jika dan hanya jika matriks terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, disebut matriks perubahan basis dari basis ke basis .
Untuk sebarang elemen misalkan adalah koordinat atas , dan adalah koordinatnya atas , kita memiliki hubunganDengan menjabarkan hubungan tersebut,kita dapatkanDalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalahdengan dan masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat atas s dan atas .
Catatan kaki
[sunting | sunting sumber]- ^ Walaupun basis umumnya dinyatakan sebagai himpunan elemen (sebagai contoh, sebagai himpunan merentang (spanning) yang saling bebas linear), notasi rangkap (tuple) nyaman digunakan karena membuat basis sebagai sebuah basis terurut, yang selanjutnya membuat konsep koordinat lebih mudah digunakan.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ (Anton 1987, hlm. 221–237)
- ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 240–243)
- ^ (Nering 1970, hlm. 50–52)
Daftar pustaka
[sunting | sunting sumber]- Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (edisi ke-5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
- Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (edisi ke-2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare
- Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy