Rasio

Untuk kegunaan lain, lihat Rasio (disambiguasi).

Rasio antara lebar dengan tinggi dari televisi definisi standar

Dalam matematika, rasio (bahasa Inggris: Ratio), nisbah atau perbandingan menyatakan berapa kali suatu bilangan termuat pada bilangan lainnya. Sebagai contoh, jika terdapat sembilan jeruk dan enam semangka, maka rasio dari jeruk dengan semangka ialah sembilan banding enam (ditulis $9:6$, yang setara dengan rasio $3:2$). Dengan cara serupa, maka rasio dari semangka dengan jeruk ialah $6:9$ (atau $2:3$) dan rasio antara jeruk dan banyaknya buah ialah $9:15$ (atau $3:5$).

Bilangan pada suatu rasio dapat menyatakan kuantitas apa pun, seperti banyaknya orang atau objek, atau bahkan ukuran panjang, berat, waktu, dll. Dalam banyak kasus, kedua bilangan dibatasi bernilai positif.

Rasio dapat dinyatakan dengan memberikan kedua bilangan pembentuknya, yang ditulis $a:b$, atau dengan memberikan nilai hasil baginya, yaitu ${\tfrac {a}{b}}$. Hasil bagi yang bernilai sama berpadanan dengan rasio yang sama. Suatu pernyataan yang mengekspresikan kesamaan dua rasio disebut sebagai proporsi.

Akibatnya, rasio dapat dipandang sebagai pasangan bilangan yang terurut, suatu pecahan yang bilangan pertamanya ialah pembilang dan yang kedua ialah penyebut. Rasio perhitungan, yang diberikan oleh bilangan asli (tak nol), adalah bilangan rasional, dan mungkin saja merupakan bilangan asli.

Notasi dan terminologi

Rasio dari bilangan $A$ dan $B$ dapat dinyatakan sebagai:

• Rasio antara $A$ dengan $B$
• $A:B$
• $A$ terhadap $B$ (saat diikuti dengan "sama seperti $C$ terhadap $D$ "; lihat di bawah)
• Suatu pecahan dengan $A$ sebagai pembilang dan $B$ sebagai penyebut (atau dengan kata lain, $A$ dibagi $B$, atau ${\tfrac {A}{B}}$). Hal ini dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana, desimal, atau sebagai persentase, dll.

Ketika rasio ditulis dalam bentuk $A:B$, simbol dua titik diantara $A$ dan $B$ terkadang merupakan tanda titik dua. Dalam Unicode, simbol ini ialah U+003A : colon, walau Unicode juga menyediakan simbol yang dikhususkan untuk menyatakan rasio, yaitu U+2236 ∶ ratio.

Suatu pernyataan yang mengekspresikan persamaan dua rasio $A:B$ dan $C:D$ disebut sebagai proporsi, yang ditulis sebagai $A:B=C:D$. Saat kesamaan rasio ini diucapkan secara lisan, seringkali hal ini dinyatakan sebagai

($A$ terhadap $B$) sama seperti ($C$ terhadap $D$)

Rasio terkadang digunakan dengan tiga suku atau lebih. Sebagai contoh, proporsi campuran yang bagus (dalam satuan volume) untuk fondasi beton ialah $${\text{semen : pasir : kerikil }}=1:2:3$$

Untuk campuran (kering) $4/1$ bagian pada volume semen dengan air, maka dapat dikatakan bahwa rasio semen dan air ialah $4:1$, yaitu terdapat 4 kali lipat semen dibandingkan air, atau banyaknya air ialah seperempat (1/4) dari banyaknya semen.

Banyaknya suku dan hubungannya dengan pecahan

Secara umum, perbandingan kuantitas dari rasio dua entitas dapat dinyatakan sebagai suatu pecahan yang diperoleh dari rasio yang diberikan. Sebagai contoh, jika rasionya ialah $2:3$, maka ukuran, volume, atau banyaknya kuantitas dari entitas pertama ialah ${\tfrac {2}{3}}$ kalinya entitas kedua.

Jika terdapat 2 nanas dan 3 mangga, rasio nanas dengan mangga ialah $2:3$, dan rasio pisang dengan jumlah keseluruhan buah ialah $2:5$. Rasio-rasio ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan: terdapat ${\tfrac {2}{3}}$ banyaknya nanas dari banyaknya mangga, dan ${\tfrac {2}{5}}$ dari banyaknya buah yang ada merupakan buah nanas. Jika konsentrat jus nanas diencerkan dengan air dengan rasio $1:4$, maka satu bagian konsentrat dicampur dengan empat bagian air, sehingga menghasilkan lima bagian; jumlah konsentrat jus nanas adalah ${\tfrac {1}{4}}$ dari jumlah air, sedangkan jumlah konsentrat jus nanas adalah ${\tfrac {1}{5}}$ dari total cairan. Baik rasio maupun pecahan, penting untuk menperjelas entitas apa yang sedang dibandingkan, sehingga kesalahpahaman dapat dihindari.

Pecahan juga dapat disimpulkan dari rasio dengan lebih dari dua entitas; akan tetapi, rasio dengan lebih dari dua pecahan tidak dapat secara utuh diubah menjadi satu pecahan, sebab pecahan hanya dapat membandingkan dua kuantitas. Pecahan berbeda dapat digunakan untuk membandingkan kuantitas dari dua entitas yang tercakup dalam rasio yang diberikan. Sebagai contoh, dari rasio $2:3:7$, maka dapat disimpulkan bahwa kuantitas entitas kedua adalah ${\tfrac {3}{7}}$ dari kuantitas entitas ketiga.

Proporsi dan persentase rasio

Jika semua kuantitas yang terlibat pada suatu rasio dikalikan dengan bilangan yang sama, maka rasionya tidak berubah. Sebagai contoh, rasio $3:2$ sama dengan $12:8$. Seringkali rasionya disederhanakan menjadi penyebut persekutuan terkecil, atau menyatakan rasionya menjadi persentase.

Jika suatu campuran mengandung zat $A$, $B$, $C$, $D$ dengan rasio $5:9:4:2$, maka untuk setiap $9$ bagian dari $B$, terdapat $5$ bagian dari $A$, $4$ bagian dari $C$, dan $2$ bagian dari $D$. Oleh karena $5+9+4+2=20$, maka campurannya mengandung ${\tfrac {5}{20}}$ zat $A$ ($5$ bagian dari $20$), ${\tfrac {9}{20}}$ zat $B$, ${\tfrac {4}{20}}$ zat $C$, dan ${\tfrac {2}{20}}$ zat $D$. Jika semua zat yang terlibat dibagi dengan total zat pada campuran, lalu dikalikan dengan $100$, maka pecahannya berubah menjadi persentase: $25\%\;A$, $45\%\;B$, $20\%\;C$, dan $10\%\;D$ (yang setara dengan menulis rasionya sebagai $25:45:20:10$).

Jika dua (atau lebih) kuantitas mencakup seluruh kuantitas pada suatu situasi, maka jumlah seluruh bagian-bagiannya disebut sebagai "keseluruhan". Sebagai contoh, suatu keranjang buah berisi dua apel dan tiga jeruk. Jika tidak ada buah lain pada keranjang tersebut, maka keranjangnya terdiri dari dua bagian apel dan tiga bagian jeruk. Pada kasus ini, ${\tfrac {2}{5}}$ atau $40\%$ keseluruhan merupakan buah apel, dan ${\tfrac {3}{5}}$ atau $60\%$ keseluruhan merupakan buah jeruk. Perbandingan antara kuantitas spesifik dengan "keseluruhan" semacam ini dikenal sebagai proporsi.

Jika rasionya hanya terdiri dari duaa nilai, maka rasionya dapat dinyatakan sebagai pecahan, termasuk pecahan desimal. Sebagai contoh, televisi lawas memiliki rasio aspek $4:3$, yang berarti lebar televisinya ialah ${\tfrac {4}{3}}$ dari tinggi televisinya (rasionya juga dapat dinyatakan sebagai $1.33:1$ atau $1.33$, apabila dibulatkan dua angka di belakang koma). TV layar lebar yang lebih mutakhir memiliki rasio aspek $16:9$, atau $1.78$ apabila dibulatkan dua angka di belakang koma. Salah satu rasio yang populer untuk film layar lebar ialah $2.35:1$, atau $2.35$ saja. Dengan menyatakan rasio sebagai pecahan desimal, maka membandingkan dua rasio berbeda akan jauh lebih sederhana. Saat membandingkan nilai $1.33$, $1.78$, dan $2.35$, terlihat jelas format mana yang menawarkan gambar yang lebih lebar. Perbandingan semacam ini hanya dapat bekerja ketika nilai yang dibandingkan bersifat konsisten, seperti selalu menyatakan lebar sebagai kelipatan dari tinggi.

Penyederhanaan rasio

Rasio dapat disederhanakan (sama seperti pecahan) dengan membagi setiap kuantitas dengan faktor persekutuan dari semua kuantitas. Sebagai contoh, makna rasio $40:60$ akan setara dengan rasio $2:3$, yang dapat diperoleh dengan membagi kedua kuantitas dengan $20$. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan $40:60=2:3$. Kalimat verbal yang setara ialah "40 terhadap 60 sama seperti 2 terhadap 3".

Rasio yang menggunakan bilangan bulat untuk kedua kuantitasnya dan tidak dapat disederhanakan lagi (menggunakan bilangan bulat) disebut sebagai bentuk paling sederhana. Secara matematis, rasio $a:b$ (atau dalam bentuk pecahan, ${\tfrac {a}{b}}$) dikatakan memiliki bentuk paling sederhana jika $a$ dan $b$ saling prima, yaitu $\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)=1$.

Rasio yang irasional

Rasio juga dapat dibuat antara kuantitas yang inkomensurabel, yaitu kuantitas yang rasionya, saat dinyatakan sebagai pecahan, merupakan bilangan irasional. Contoh paling awal yang ditemukan, ditemukan oleh Pythagoreanisme, ialah rasio antara panjang diagonal $d$ dengan panjang sisi $s$ dari suatu persegi, yaitu akar kuadrat dari 2. Secara simbolis, maka $s:d=1:{\sqrt {2}}$. Contoh lainnya ialah rasio antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang disebut sebagai $\pi$, yang tidak hanya bilangan irasional, namun juga merupakan bilangan transenden.

Contoh lain yang cukup terkenal ialah rasio emas antara dua panjang $a$ dan $b$ yang memenuhi proporsi berikut: $$a:b=\left(a+b\right):a\qquad {\text{atau secara ekuivalen, }}\qquad a:b=\left(1+{\tfrac {b}{a}}\right):1$$ Jika didefinisikan $x={\tfrac {b}{a}}$, maka nilai $x$ adalah penyelesaian dari persamaan $$x=1+{\tfrac {1}{x}}\qquad {\text{atau}}\qquad x^{2}-x-1=0$$ yang memiliki penyelesaian positif irasional $x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ Akibatnya, setidaknya salah satu dari $a$ atau $b$ merupakan bilangan irasional, agar nilai $x$ menjadi rasio emas. Contoh dari kemunculan rasio emas dalam matematika ialah nilai limit dari barisan rasio dua bilangan Fibonacci berurutan: walaupun semua suku barisannya merupakan rasio dari dua bilangan bulat (yang nilainya rasional), nilai limit dari barisan rasio yang rasional ini ialah rasio emas yang irasional.

Serupa seperti sebelumnya, rasio perak dari $a$ dan $b$ didefinisikan sebagai proporsi $$a:b=\left(2a+b\right):a\qquad {\text{atau secara ekuivalen, }}\qquad a:b=\left(2+{\tfrac {b}{a}}\right):1$$ yang berpadanan dengan persamaan $x^{2}-2x-1=0$. Persamaan ini memiliki penyelesaian irasional positif $x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}}$, sehingga setidaknya salah satu dari $a$ atau $b$ pada rasio perak haruslah bernilai irasional.

Gasal

Artikel utama: Gasal

Gasal (seperti dalam perjudian) dinyatakan sebagai suatu rasio. Misalnya, gasal "$7$ lawan $3$" ($3:7$) berarti peluang terjadinya suatu kejadian ialah ${\tfrac {3}{7}}$ kalinya peluang tidak terjadinya kejadian tersebut. Dengan kata lain, peluang suksesnya ialah $30\%$. Dalam setiap sepuluh percobaan, maka diharapkan terjadi tiga kemenangan dan tujuh kekalahan.

Satuan

Rasio mungkin saja tidak memiliki satuan, seperti pada kasus saat rasio digunakan untuk membandingkan kuantitas dengan satuan yang berdimensi sama, namun satuannya berbeda. Sebagai contoh, rasio satu menit : 40 detik dapat disederhanakan dengan mengganti nilai pertama menjadi 60 detik, sehingga rasionya menjadi 60 detik : 40 detik. Setelah satuannya sama, maka satuannya dapat dihilangkan, dan rasionya dapat disederhanakan menjadi $3:2$.

Di sisi lain, terdapat hasil bagi dengan satuan tertentu, yang dikenal sebagai laju. Dalam kimia, rasio konsentrasi massa biasanya dinyatakan sebagai pecahan massa per volume. Sebagai contoh, konsentrasi $3\%\,w/v$ biasanya diartikan sebagai $3g$ zat dalam setiap $100\,mL$ larutan. Rasio ini tidak dapat diubah ke rasio tanpa dimensi, seperti massa per massa atau volume per volume.

Lihat juga

• Rasio silang
• Rasio pengenceran
• Besaran nirdimensi
• Rasio keuangan
• Interval (musik)
• Rasio ganjil
• Notasi bagian per
• Kesebandingan (matematika)
• Distribusi rasio
• Pendugaan rasio
• laju (matematika)
• Risiko relatif
• Skala (peta)
• Skala (statistik)
• Rasio jenis kelamin
• Kemiringan

Bacaan lanjutan

• (Inggris) "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
• (Inggris) "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
• (Inggris) "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff
• The thirteen books of Euclid's Elements [Tiga belas buku dari Elemen Euklid] (dalam bahasa Inggris). 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. 1908. hlm. 112ff. 
• (Inggris) D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Ginn and Company (1925) pp. 477ff. Reprinted 1958 by Dover Publications.