Rumus Euler

Dalam matematika, rumus Euler dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. Sebagai catatan, identitas Euler adalah kasus spesial dari rumus Euler. Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap bilangan real $x$ ,

e^{ix}=\cos x+i\sin x\!

di mana $e$ adalah basis logaritma natural, $i$ adalah unit imajiner atau satuan imajiner, $\sin$ dan $\cos$ adalah fungsi trigonometri. Richard Feynman menyebut rumus Euler sebagai "our jewel" dan "rumus terhebat dalam matematika."^[1]

Sejarah

Rumus Euler dibuktikan (dalam bentuk yang tidak jelas) untuk pertama kalinya oleh Roger Cotes pada 1714, kemudian ditemukan kembali dan dipopulerkan oleh Euler pada 1748. Tidak satu pun dari orang orang melihat interpretasi geometri dari rumus: pandangan bilangan kompleks sebagai titik di bidang muncul hanya sekitar 50 tahun kemudian (lihat Caspar Wessel).

Aplikasi dalam teori bilangan kompleks

Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya $e^{ix}$ menelusuri lingkaran satuan dalam bidang bilangan kompleks sebagai x berkisar melalui bilangan real. Di sini, $x$ adalah sudut yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.

Buktinya didasarkan pada deret Taylor perluasan dari fungsi eksponensial $e^{z}$ (di mana $z$ adalah bilangan kompleks) dan dari $\sin x$ dan $\cos x$ untuk bilangan real $x$ (lihat di bawah). Faktanya, bukti yang sama menunjukkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua bilangan kompleks $x$ .

Rumus Euler dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks pada koordinat polar. Bilangan kompleks apa pun z=x+iy dapat ditulis sebagai

z=x+iy=A(\cos \phi +i\sin \phi )=Ae^{i\phi }\,

di mana $x=\mathrm {Re} (z)$ , $y=\mathrm {Im} (z)\,$ , $A=|z|\,$ , dan $\phi$ adalah dari sudut- $z$ antara sumbu x dan vektor $z$ dapat diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian yang ditentukan hingga penambahan 2π.

Menggunakan hukum eksponensial

e^{a+b}=e^{a}e^{b}\,

berlaku untuk bilangan kompleks $a$ dan $b$ dan rumus Euler, dapat ditulis

z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\,

untuk nilai $z\neq 0$ , yang menyiratkan bahwa logaritma kompleks dari $z$

\ln z=\ln |z|+i\phi .\,

Jadi, logaritma bilangan kompleks adalah fungsi multi-nilai, karena faktanya $\phi$ multi-nilai.

Rumus

(e^{a})^{k}=e^{ak},\,

yang dapat dilihat berlaku untuk semua bilangan bulat $k$ , bersama dengan rumus Euler, menyiratkan beberapa identitas trigonometri serta rumus de Moivre.

Hubungan dengan trigonometri

Rumus Euler memberikan hubungan yang kuat antara analisis dan trigonometri, dan memberikan interpretasi dari fungsi sinus dan cosinus sebagai jumlah bobot dari fungsi eksponensial:

\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}

\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}

Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\;

e^{-ix}=\cos x-i\sin x\;

and solving for either cosine or sine.

Rumus ini bahkan dapat berfungsi sebagai definisi fungsi trigonometri untuk argumen kompleks x. Contohnya, membiarkan x = iy, kita punya:

\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=i\sinh(y).

Aplikasi lain

Dalam persamaan diferensial, fungsinya e^ix sering digunakan untuk menyederhanakan derivasi, meskipun jawaban akhirnya adalah fungsi nyata yang melibatkan sinus dan kosinus. Identitas Euler adalah konsekuensi mudah dari rumus Euler.

Dalam teknik kelistrikan dan bidang lainnya, sinyal yang berubah secara berkala dari waktu ke waktu sering kali digambarkan sebagai kombinasi fungsi sinus dan kosinus (lihat analisis Fourier), dan ini lebih mudah diekspresikan sebagai bagian nyata dari fungsi eksponensial dengan eksponen imajiner, menggunakan rumus Euler.

Bukti

Berbagai bukti dari rumus tersebut dimungkinkan.

Menggunakan deret Taylor

Berikut adalah bukti rumus Euler menggunakan ekspansi deret Taylor serta fakta dasar tentang kekuatan i:

i^{0}=1\,

i^{1}=i\,

i^{2}=-1\,

i^{3}=-i\,

i^{4}=1\,

i^{5}=i\,

dan seterusnya. Fungsinya e^x, cos(x) dan sin(x) (dengan asumsi x adalah riil) dapat ditulis sebagai:

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

dan untuk kompleks z kita mendefinisikan masing-masing fungsi ini dengan rangkaian di atas, menggantikan x dengan iz. Kemungkinan karena radius konvergensi dari setiap deret tidak terbatas. Kami kemudian menemukan itu

e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots

=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots

=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)

=\cos(z)+i\sin(z)\,

Penataan kembali suku-suku dibenarkan karena setiap deret adalah konvergensi mutlak. Pengambilan z = x menjadi bilangan real memberikan identitas asli saat Euler menemukannya.

Q.E.D.