Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").
Misalkan dan . Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat dengan koefisien bilangan riil
dapat dinyatakan sebagai
dengan merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar sebagai berikut:
Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai
Perhatikan bahwa sampai dengan diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari akar digunakan tepat satu kali.
Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.
Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika bukan merupakan pembagi nol dan dapat difaktorkan menjadi . Sebagai contoh, fungsi kuadrat
memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih dan , sebab . Akan tetapi, dapat difaktorkan menjadi atau , dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih atau .
Menurut teorema dasar aljabar, jika merupakan akar-akar dari polinomial
maka dapat dinyatakan sebagai
Akibatnya, diperoleh persamaan
Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari .
Secara formal, jika ekspresi dijabarkan, maka terdapat tepat pilihan biner pada setiap suku (ikutkan atau ). Jika pilihan digunakan untuk memilih sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa faktor lainnya haruslah . Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum , dengan bernilai 0 atau 1, tergantung apakah menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam .
Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai , dengan . Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk .
Berdasarkan teorema faktor, maka dapat difaktorkan dari , dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan
Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus , maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang .
Dengan membagi kedua ruas dengan , maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.
Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser,[2] prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:
...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations" [Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan], American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR2299273
Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra [Kursus aljabar] (dalam bahasa Inggris), American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN0-8218-3413-4
Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 [Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004] (dalam bahasa Inggris), Springer, New York, NY, ISBN0-387-24299-6