Rumus Vieta untuk Pi

Dalam matematika, rumus Vieta untuk pi adalah perkalian takhingga akar kuadrat tersarang yang sama dengan dua kali invers (kebalikan) konstanta $π$ : ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ Untuk memudahkan, ungkapan di atas dapat dinyatakan sebagai ${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.$ Nama rumus tersebut diambil dari François Viète yang memperkenalkannya pada tahun 1593.^[1] Dalam sejarah matematika Eropa, rumus tersebut merupakan yang pertama menggunakan perhitungan takhingga.^[2] Oleh karena itu, rumus tersebut dapat secara ketat dinyatakan sebagai limit suatu ungkapan.^[3] Selain itu, penggunaan perhitungan takhingga pada rumus tersebut menandai awal berkembangnya analisis matematika. Rumus tersebut memiliki laju konvergensi linier dalam menghitung $π$ .^[4] Sehubungan dengan konvergensi, ada banyak rumus sebelum dan sesudahnya dengan keakuratan lebih baik dalam menghitung konstanta tersebut. Selain digunakan untuk menghitung $π$ , rumus tersebut juga digunakan dalam perhitungan sifat pegas dan massa.^[5] Lebih lanjut, rumus tersebut merupakan contoh tersirat tentang konsep kejadian saling bebas.

Rumus tersebut dapat diperoleh dengan melakukan pengalian takhingga berteleskop atas luas atau keliling suatu poligon yang membentuk lingkaran. Di samping itu, perumuman rumus tersebut dapat diperoleh dengan menyubtitusi secara berulang rumus setengah sudut trigonometri, penemuan Leonhard Euler, yang salah satu bentuknya merupakan rumus Vieta. Selain rumus Vieta, ada banyak rumus lain yang menggunakan akar kuadrat tersarang.

Signifikansi

François Viète (1540—1603) adalah seorang advokat, penasihat pribadi kepada dua Raja Perancis, dan matematikawan. Ia memperkenalkan rumus perhitungan $π$ dalam karyanya Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII pada tahun 1593. Saat ia memperkenalkan rumus tersebut, metode menghitung $π$ dengan keakurasian tertentu telah lama diketahui. Rumus Vieta sendiri dapat dipahami sebagai bentuk lain atas cara Archimedes menentukan keliling lingkaran dengan menggunakan keliling poligon banyak sisi.^[1] Cara tersebut digunakan Archimedes untuk mengapit^[6] ${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.$ Dengan memperkenalkan metode perhitungannya dalam bentuk rumus, Viète telah memberikan salah satu contoh penggunaan perkalian takhingga dalam matematika.^[7]^[8] Sehubungan dengan itu, metode tersebut merupakan contoh pertama tentang rumus eksplisit nilai pasti $π$ .^[9]^[10] Karena merupakan salah satu metode pertama yang menggunakan perhitungan takhingga untuk menentukan nilai suatu konstanta dalam sejarah matematika Eropa,^[11] Eli Maor menggangap keberadaan rumus Vieta sebagai awal berkembangnya analisis matematika.^[2] Lagi, Jonathan Borwein menganggap keberadaan rumus tersebut sebagai "awal bangkitnya matematika modern".^[12]

Viète menghitung nilai $π$ hingga digit desimal ke-9 dengan menggunakan rumusnya.^[4] Namun demikian, perhitungan tersebut bukan yang paling akurat pada waktu itu karena Jamshīd al-Kāshī, seorang matematikawan Persia, telah terlebih dahulu menghitung nilai $π$ hingga seksagesimal ke-9 dan desimal ke-16 pada tahun 1424.^[12] Tidak lama setelah Viète memperkenalkan rumusnya, Ludolph van Ceulen menggunakan metode perhitungan yang hampir sama dengan Viète untuk menghitung nilai $π$ hingga digit ke-35. Perhitungan tersebut baru dipublikasi setelah kematian van Ceulen pada tahun 1610.^[12]

Di luar signifikansinya dalam konteks matematika dan sejarah, rumus Vieta dapat digunakan untuk mempelajari variasi kecepatan gelombang bermacam frekuensi pada pegas dan massa dengan $π$ sebagai pembatas atas kecepatan tersebut.^[5] Lebih lanjut, perolehan rumus tersebut dalam bentuk perkalian integral sistem Rademacher yang sama dengan perkalian integral berfungsi serupa merupakan salah satu contoh tersirat tentang kejadian saling bebas dalam statistika.^[13]

Pemahaman dan konvergensi

Rumus Vieta dapat dinyatakan dan dipahami ulang sebagai limit suatu ungkapan^[3] $\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }},$ dengan ${\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}$ Untuk sembarang $n$ , ungkapan pada limit tersebut hanya perkalian terhitung. Sementara itu, apabila $n$ semakin besar, perkalian terhitung tersebut akan mendekati nilai rumus Vieta. Karena Viète memperoleh rumusnya jauh sebelum konsep limit serta pembuktian ketat konvergensi dikembangkan dalam matematika, kebenaran adanya limit tersebut baru diberikan oleh Ferdinand Rudio pada tahun 1891.^[1]^[14]

Laju konvergensi suatu limit mengendalikan seberapa banyak suku atau jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk memperoleh digit sesuai konstanta terkait. Pada rumus Vieta sendiri, banyak suku dan digit saling berbanding satu sama lain. Sebagai contoh, hasil kali atas suku $n$ pertama pada limit rumus tersebut menghasilkan nilai $π$ yang sekitar $0,6 n$ digit.^[4]^[15] Sehubungan dengan itu, laju konvergensi rumus tersebut hampir menyamai produk Wallis, salah satu rumus $π$ dalam bentuk perkalian takhingga yang terkenal di kemudian waktu. Walaupun Viète hanya melakukan perhitungan hingga digit ke-9, bentuk percepatan rumusnya telah digunakan untuk menghitung $π$ hingga pada ribuan digit.^[4]

Lihat juga

Hukum Morrie, menyubtitusi $x=2^{n}\alpha$ pada rumus akhir bagian perolehan
Daftar identitas trigonometri

Referensi

^ ^a ^b ^c Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Boulder, Colorado: The Golem Press. hlm. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.
^ ^a ^b Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7.
^ ^a ^b Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Viète's infinite product". The Number pi (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. hlm. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. MR 2036595.
^ ^a ^b ^c ^d Kreminski, Rick (2008). " $π$ to thousands of digits from Vieta's formula". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR 27643107.
^ ^a ^b Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (December 2011). "Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula". Physics Education (dalam bahasa Inggris). 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.
^ Beckmann 1971, hlm. 67.
^ De Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (dalam bahasa Inggris). Leicester: Matador. hlm. 165. ISBN 978-1905237-81-4.
^ Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). "On Viète-like formulas". Journal of Approximation Theory (dalam bahasa Inggris). 174: 90–112. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006 . MR 3090772.
^ Morrison, Kent E. (1995). "Cosine products, Fourier transforms, and random sums". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 102 (8): 716–724. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641. JSTOR 2974641. MR 1357488.
^ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (dalam bahasa Inggris). New York: Springer. hlm. 15. doi:10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48807-3.
^ Rumus dengan perhitungan takhingga dalam bentuk deret trigonometri untuk $\pi$ didapati pada sebuah teks matematika di India yang ditulis oleh Madhava dari Sangamagrama (1340—1425), tetapi rumus tersebut tidak diketahui di Eropa hingga beberapa waktu kemudian. Lihat: Plofker, Kim (2009). "7.3.1 Mādhava on the circumference and arcs of the circle". Mathematics in India (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 221–234. ISBN 978-0-691-12067-6.
^ ^a ^b ^c Borwein, Jonathan M. (2014). "The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond" (PDF). Dalam Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (dalam bahasa Inggris). Berlin & Heidelberg: Springer. hlm. 531–561. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24. ISBN 978-3-642-36735-9. Diakses tanggal 2024-08-20.
^ Kac, Mark (1959). "Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence". Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. Carus Mathematical Monographs (dalam bahasa Inggris). 12. New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. hlm. 1–12. MR 0110114.
^ Rudio, F. (1891). "Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung". Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (dalam bahasa Jerman). 36: 139–140. JFM 23.0263.02.
^ Osler, Thomas J. (2007). "A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for $π$ ". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (dalam bahasa Inggris). 38 (1): 136–142. doi:10.1080/00207390601002799.

Pranala luar

Buku Viète Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593) pada Google Buku. Rumus $π$ ada pada pertengahan hlm. 30.

[beckmann-1] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2). Boulder, Colorado: The Golem Press. hlm. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. MR 0449960.

[maor-2] Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7.

[eymlaf-3] Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Viète's infinite product". The Number pi (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. hlm. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. MR 2036595.

[kreminski-4] Kreminski, Rick (2008). " $π$ to thousands of digits from Vieta's formula". Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 81 (3): 201–207. doi:10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR 27643107.

[cullerne-5] Cullerne, J. P.; Goekjian, M. C. Dunn (December 2011). "Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula". Physics Education (dalam bahasa Inggris). 47 (1): 87–91. doi:10.1088/0031-9120/47/1/87.

[FOOTNOTEBeckmann197167-6] Beckmann 1971, hlm. 67.

[desmith-7] De Smith, Michael J. (2006). Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing (dalam bahasa Inggris). Leicester: Matador. hlm. 165. ISBN 978-1905237-81-4.

[mgc-8] Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). "On Viète-like formulas". Journal of Approximation Theory (dalam bahasa Inggris). 174: 90–112. doi:10.1016/j.jat.2013.06.006 . MR 3090772.

[morrison-9] Morrison, Kent E. (1995). "Cosine products, Fourier transforms, and random sums". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 102 (8): 716–724. arXiv:math/0411380 . doi:10.2307/2974641. JSTOR 2974641. MR 1357488.

[oms-10] Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2010). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (dalam bahasa Inggris). New York: Springer. hlm. 15. doi:10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48807-3.

[plofker-11] Rumus dengan perhitungan takhingga dalam bentuk deret trigonometri untuk $\pi$ didapati pada sebuah teks matematika di India yang ditulis oleh Madhava dari Sangamagrama (1340—1425), tetapi rumus tersebut tidak diketahui di Eropa hingga beberapa waktu kemudian. Lihat: Plofker, Kim (2009). "7.3.1 Mādhava on the circumference and arcs of the circle". Mathematics in India (dalam bahasa Inggris). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. hlm. 221–234. ISBN 978-0-691-12067-6.

[borwein-12] Borwein, Jonathan M. (2014). "The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond" (PDF). Dalam Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen. From Alexandria, Through Baghdad (dalam bahasa Inggris). Berlin & Heidelberg: Springer. hlm. 531–561. doi:10.1007/978-3-642-36736-6_24. ISBN 978-3-642-36735-9. Diakses tanggal 2024-08-20.

[kac-13] Kac, Mark (1959). "Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence". Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. Carus Mathematical Monographs (dalam bahasa Inggris). 12. New York: John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America. hlm. 1–12. MR 0110114.

[rudio-14] Rudio, F. (1891). "Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung". Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (dalam bahasa Jerman). 36: 139–140. JFM 23.0263.02.

[osler-15] Osler, Thomas J. (2007). "A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for $π$ ". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (dalam bahasa Inggris). 38 (1): 136–142. doi:10.1080/00207390601002799.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]