Teorema bilangan prima

Dalam teori bilangan, teorema bilangan prima (TBP) menjelaskan asimtotik, distibusi dari bilangan prima di antara bilangan bulat positif. Teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 menggunakan ide-ide yang diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (khususnya, fungsi zeta Riemann).

Distribusi pertama yang ditemukan adalah $\pi (N)\sim {\frac {N}{\ln(N)}}$ , dimana $\pi (N)$ adalah fungsi penghitungan bilangan prima dan $\ln(N)$ adalah logaritma alami . Ini berarti, untuk yang cukup besar, kemungkinan bahwa sebuah bilangan bulat acak tidak lebih besar dari $N$ adalah bilangan prima yang sangat dekat ke ${\frac {1}{\ln(N)}}$ . Karena itu, sebuah bilangan bulat acak dengan paling banyak $2n$ digit (untuk $n$ yang cukup besar) kemungkinannya sekitar setengahnya menjadi bilangan prima sebagai bilangan bulat acak dengan paling banyak $n$ digit.

Sebagai contoh, antara bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah bilangan prima ( $\ln(10^{1000})\approx 2302.6$ ), sedangkan di antara bilangan bulat paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah bilangan prima ( $\ln(10^{2000})\approx 4605.2$ ). Dengan kata lain, jarak rata-rata antara bilangan prima berurutan sekitar bilangan bulat $N$ pertama kira-kira $\ln(N)$ .^[1]

Pernyataan

Misalkan $\pi (x)$ adalah fungsi penghitung bilangan prima yang memberikan bilangan prima kurang dari sama dengan $x$ , untuk setiap bilangan real $x$ . Misalnya, $\pi (10)=4$ karena terdapat empat bilangan prima (2, 3, 5, dan 7) kurang dari sama dengan 10. Teorema bilangan prima kemudian menyatakan bahwa ${\frac {x}{\ln x}}$ adalah sebuah aprokismasi yang baik untuk $\pi (x)$ , dalam arti bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi $\pi (x)$ dan ${\frac {x}{\ln x}}$ saat $x$ meningkat tanpa batas adalah 1ː

\lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\ln(x)}}\right]\;}}=1

,

Ini dikenal sebagai hukum asimtotik distribusi bilangan prima. Dengan menggunakan notasi asimtotik, hasil ini dapat dikemukakan kembali sebagai

\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}

.

Notasi ini (dan teoremanya) tidak mengatakan apapun tentang limit dan selisih dari dua fungsi saat $x$ meningkat tanpa batas. Sebagai gantinya, teoremanya mengatakan bahwa ${\frac {x}{\ln x}}$ mendekati $\pi (x)$ dalam arti bahwa galat relatif dari aprokismasi ini mendekati 0

Teorema bilangan prima setara dengan pernyataan bahwa bilangan prima $p_{n}$ ke- $n$ memenuhiː

p_{n}\sim n\ln(n)

,

pengertian dari notasi asimtotik, lagi, bahwa galat relatif dari aproksimasi ini mendekati 0 saat $n$ meningkat tanpa batas. Sebagai contoh, bilangan prima ke $2\times 10^{17}$ adalah $8\ 512\ 677\ 386\ 048\ 191\ 063$ ,Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah. dan $(2\times 10^{17})\ln(2\times 10^{17})$ membulatkan ke $7\ 967\ 418\ 752\ 291\ 744\ 388$ , sebuah galat relatif sekitar $6.4\%$ .

Seperti yang diuraikan di bawah, teorema bilangan prima juga setara dengan

\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1

,

dimana $\vartheta$ dan $\psi$ adalah fungsi Chebyshev pertama dan kedua.

Sketsa bukti

ini adalah sebuah sketsa dari bukti yang disebut di salah satu kuliah Terence Tao.^[2] Ide tersebut adalah untuk menghitung bilangan prima (atau sebuah himpunan yang terkait seperti himpunan dari pangkat-pangkat bilangan prima) dengan bobot untuk sampai pada sebuah fungsi dengan perilaku asimtotik yang lebih mulus. Yang paling umum seperti fungsi penghitungan rampat adalah fungsi Chebyshev.

$\psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\ln p$

Kadang-kadang, ini ditulis sebagai

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)

,

dimana $\Lambda (n)$ adalah fungsi von Mangoldt, yaitu

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{jika }}n=p^{k}{\text{ untuk beberapa bilangan prima }}p{\text{ dan bilangan bulat }}k\geq 1,\\0&{\text{jika tidak.}}\end{cases}}

Sekarang relatif mudah untuk memeriksa bahwa TBP setara dengan tujuannya bahwa

\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1

.

Memang, ini mengikuti dari perkiraan yang mudah

\psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi (x)\log x

dan (menggunakan notasi O besar) untuk setiap $\varepsilon >0$ ,

\psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x

.

Langkah selanjutnya adalah mencari sebuah representasi yang berguna untuk $\psi (x)$ . Misalkan $\zeta (s)$ menjadi sebuah fungsi zeta Riemann. Ini bisa menunjukkan bahwa $\zeta (s)$ berakitan dengan fungsi von Mangoldt $\Lambda (n)$ ,

-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}

.

Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat $x$ persamaan

$\psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )$ berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku $x$ (diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik $\psi (x)$ ) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.

Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial $-2,-4,-6,-8,\dots$ bisa ditangani secara terpisahː

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)

,

yang hilang untuk sebuah $x$ besar. Untuk nol nontrivial, yaitu yang ada di garis kritis $0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1$ , berpotensi menjadi sebuah urutan asimtotik sebanding ke suku utama $x$ jika $\operatorname {Re} (\rho )=1$ , jadi kita perlu menunjukkan bahwa semua nol memiliki bagian real sangat kurang dari $1$ .

Untuk melakukan ini, kita menerima begitu saja bahwa $\zeta (s)$ adalah meromorfik dalam setengah bidang $\operatorname {Re} (s)>0$ , dan analitik di sana kecuali untuk sebuah kutub sederhana pada $s=1$ , dan itu terdapat sebuah rumus produk

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

untuk $\operatorname {Re} (s)>1$ . Rumus produk ini mengikuti dari adanya faktorisasi bilangan prima tunggal dari bilangan bulat, dan menunjukkan bahwa $\zeta (s)$ tidak pernah nol di daerah ini, jadi logaritmanya didefinisikan di sana dan

\log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}

.

Tulis $s=x+iy$ , lalu

${\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)$ .

Sekarang mengamati identitas

3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0

,

sehingga

\left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1

untuk semua $x>1$ . Misalkan bahwa $\zeta (1+iy)=0$ . Tentu saja $y$ bukan nol, karena $\zeta (s)$ memiliki sebuah kutub sederhana pada $s=1$ . Misalkan bahwa $x>1$ dan misalkan $x$ cenderung ke $1$ dari atas. Karena $\zeta (s)$ adalah sebuah kutub sederhana pada $s=1$ dan $\zeta (x+2iy)$ tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke $0$ , sebuah kontradiksi.

Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk $\psi (x)$ tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward^[3] menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan teorema Tauberian Ikehara, meskipun teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.

Bukti Newman tentang TBP

Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing

\psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\quad {\text{  dan     }}\quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p.

Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan $k\geq 2$ dari yang pertama. TBP setara dengan $\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1$ atau $\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1$ .

Jumlah untuk adalah $\psi$ dan $\vartheta$ jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet

$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,\,p^{-ks}\quad {\text{ dan }}\quad \quad \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}$ ,

dimana $\zeta$ adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan $k\geq 2$ dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan $k\geq 2$ didominasi oleh deret Dirichlet untuk $\zeta (2s+\varepsilon )$ untuk setiap positif $\varepsilon$ , jadi turunan logaritmik $\zeta$ dan $\Phi (s)$ berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam $\Re s>{\frac {1}{2}}$ , dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis $\Re s=1$ .

Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk $\Re s>1$ ,

\Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt

.

Semua bukti-bukti analitik dari TBP menggunakan fakta bahwa $\zeta$ tidak memiliki nol pada garis $\Re s=1$ . Satu informasi lebih lanjut dalam pembuktian Newman adalah ${\frac {\vartheta (x)}{x}}$ dibatasi, Ini bisa dengan mudah membuktikan metode-metode dasar.

Metode Newman membuktikan TBP dengan menunjukkan integral

$\Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt$

konvergen, dan karena itu integrand tersebut menuju nol karena $t\to \infty$ . Secara umum, konvergensi dari integral takwajar tidak menyiratkan bahwa integrand menuju nol, karena itu mungkin berosilasi, tetapi karena $\vartheta$ meningkat, itu mudah untuk ditampilkan dalam kasus ini.

Untuk $\Re s>0$ , misalkan

g_{T}(z)=\int _{0}^{T}\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)e^{-zt}\,dt\quad \quad

maka

\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{dimana}}\quad z=s-1

yang holomorfik pada garis $\Re z=0$ . Konvergensi dari integral $I$ dibuktikan dengan menunjukkan bahwa $\lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)$ . Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai

\lim _{T\to \infty }\lim _{s\to 0}g_{T}(z)=\lim _{s\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)

dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.

Selisih $g(0)-g_{T}(0)$ diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan $R>0$ dan $\delta >0$ , seperti $g(z)$ holomorfik dalam daerah dimana $\left|z\right|\leq R$ dan $\Re z>-\delta$ dan misalkan $C$ menjadi batasnya. Karena $0$ ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan

$g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}$ .

Untuk mendapatkan sebuah taksiran kasar pada integrand, misalkan $B$ menjadi sebuah batas atas untuk ${\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1$ , maka untuk $\Re z>0$

|g(z)-g_{T}(z)|\leq B\int _{T}^{\infty }e^{-\Re (z)t}\,dt={\frac {Be^{-\Re (z)T}}{\Re z}}.

Batas ini tidak cukup baik untuk membuktikan hasil tersebut, namun Newman memperkenalkan faktor

F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)

menjadi integrand untuk $g(0)-g_{T}(0)$ . Karena faktor Newman $F$ adalah menyeluruh dan $F(0)=1$ , ruas kiri tetap tidak berubah. Sekarang taksiran di atas untuk $\left|g(z)-g_{T}(z)\right|$ dan taksiran pada $F$ menggabungkan untuk diberikan

\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{+}}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}\right|\leq {\frac {B}{R}}

.

dimana $C_{+}$ adalah setengah lingkaran $C\cup \{z\mid \Re z>0\}$

Misalkan $C_{-}$ menjadi kontur $C\cap \{\Re z\leq 0\}$ . Fungsi $g_{T}$ adalah menyeluruh, jadi dengan menggunakan teorema integral Cauchy, kontur $C$ dapat dimodifikasi ke sebuah setengah lingkaran dari jari-jari $R$ dalam kiri setengah bidang tanpa mengubah integral ${\frac {g_{T}(z)F(z)}{2\pi iz}}$ , dan argumen yang sama memberikan nilai mutlak dari integral ini sebagai $\leq {\frac {B}{R}}$ . Akhirnya, dengan memisalkan $T\to \infty$ , integral ${\frac {g_{T}(z)F(z)}{z}}$ pada kontur $C_{\delta }$ menuju nolkarena $F$ menuju nol pada kontur. Menggabungkan tiga taksiran, mendapatkan

\limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}

.

Ini berlaku untuk setiap $R$ sehingga $\lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)$ , dan TBP berikut.

Aproksimasi untuk bilangan prima ke-n

Sebagai akibat dari teorema bilangan prima, salah satunya mendapatkan sebuah ekspresi asimtotik untuk bilangan prima ke- $n$ , yang dilambangkan sebagai $p_{n}$ . Ekspresiny yaitu:

p_{n}\sim n\log n

.

Sebuah aproksimasi yang lebih baik adalahKesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah.

{\frac {p_{n}}{n}}=\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+11}{2(\ln n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)

.

Teorema Rosser menyatakan bahwa

p_{n}>n\ln n

.

Ini dapat diperbaiki dengan mengikuti sepasang batas berikut.

Tabel $\pi (x)$ , ${\frac {x}{\ln x}}$ , dan $\operatorname {li} (x)$

Tabel tersebut membandingkan nilai eksak $\pi (x)$ dengan aproksimasi ${\frac {x}{\ln x}}$ dan $\operatorname {li} (x)$ . Di kolom terakhir, ${\frac {x}{\pi (x)}}$ , adalah rata-rata celah bilangan prima di bawah $x$ .

$x$	$\pi (x)$	$\pi (x)-{\frac {x}{\ln x}}$	${\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln x}}}$	$\pi (x)-\operatorname {li} (x)$	${\frac {x}{\pi (x)}}$

10	4	−0.3	0.921	2.2	2.5
10²	25	3.3	1.151	5.1	4
10³	168	23	1.161	10	5.952
10⁴	1229	143	1.132	17	8.137
10⁵	9592	906	1.104	38	10.425
10⁶	78498	6116	1.084	130	12.740
10⁷	664579	44158	1.071	339	15.047
10⁸	5761455	332774	1.061	754	17.357
10⁹	50847534	2592592	1.054	1701	19.667
10¹⁰	455052511	20758029	1.048	3104	21.975
10¹¹	4118054813	169923159	1.043	11588	24.283
10¹²	37607912018	1416705193	1.039	38263	26.590
10¹³	346065536839	11992858452	1.034	108971	28.896
10¹⁴	3204941750802	102838308636	1.033	314890	31.202
10¹⁵	29844570422669	891604962452	1.031	1052619	33.507
10¹⁶	279238341033925	7804289844393	1.029	3214632	35.812
10¹⁷	2623557157654233	68883734693281	1.027	7956589	38.116
10¹⁸	24739954287740860	612483070893536	1.025	21949555	40.420
10¹⁹	234057667276344607	5481624169369960	1.024	99877775	42.725
10²⁰	2220819602560918840	49347193044659701	1.023	222744644	45.028
10²¹	21127269486018731928	446579871578168707	1.022	597394254	47.332
10²²	201467286689315906290	4060704006019620994	1.021	1932355208	49.636
10²³	1925320391606803968923	37083513766578631309	1.020	7250186216	51.939
10²⁴	18435599767349200867866	339996354713708049069	1.019	17146907278	54.243
10²⁵	176846309399143769411680	3128516637843038351228	1.018	55160980939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

Nilai untuk $\pi (10^{24})$ dihitung dengan asumsi hipotesis Riemann;^[4] maka hal itu telah diverifikasi tanpa syarat.^[5]

Analog dari polinomial yang taktereduksi lagi pada sebuah medan berhingga

Ada sebuah analog dari teorema bilangan prima yang menggambarkan bahwa polinomial taktereduksi "distribusi" pada sebuah medan berhingga terbatas, bentuknya sangat mirip dengan kasus teorema bilangan prima klasik. yang

Untuk menyatakannya dengan tepat, misalkan $F=\operatorname {GF} (q)$ menjadi medan berhingga dengan anggota $q$ , dan misalkan $N_{n}$ menjadi bilangan polinomial taktereduksi monik pada $F$ yang derajatnya sama dengan $n$ . Artinya, kita sedang melihat pada polinomial yang koefisiennya terpilih dari $F$ , yang tidak bisa ditulis sebagai produk polinomial derajat lebih kecil. Dalam pengaturan ini, polinomial ini memainkan peran dari bilangan prima, karena semua polinomial monik lainnya dibangun dari produk mereka. Salah satunya kemudian membuktikan bahwa

N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}

.

Jika kita membuat substitusi $x=q^{n}$ , maka di ruas kanan hanya

{\frac {x}{\log _{q}x}}

,

yang membuat analognya lebih jelas. Karena tepatnya ada polinomial monik $q^{n}$ derajat $n$ (termasuk yang dapat direduksi), ini dapat diungkapkan ulang sebagai berikut: jika sebuah polinomial monik derajat $n$ dipilih secara acak, maka kemungkinan tersebut tidaktereduksi sekitar ${\frac {1}{n}}$ .

Salah satunya bisa membuktikan sebuah analog dari hipotesis Riemann, yaitu

N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right)

.

Bukti dari pernyataan-pernyataan ini jauh lebih sederhana daripada dalam kasus klasik. Ini melibatkan argumen kombinatorika singkat,Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah atau memiliki nama yang salah. diringkas sebagai berikut: setiap anggota dari derajat $n$ ekstensi $F$ adalah sebuah akar dari beberapa polinomial taktereduksi yang derajat $d$ membagi $n$ , dengan menghitung akar-akar ini dalam dua cara yang berbeda salah satunya menetapkan bahwa

q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}

,

dimana jumlah pada semua pembagi $d$ pada $n$ . Invers Möbius kemudian menghasilkan

N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},

dimana $\mu (k)$ adalah fungsi Möbius. (Rumus ini diketahui Gauss) Suku utama terjadi untuk $d=n$ , dan ini tidak sulit untuk membatasi suku-suku yang tersisa. Pernyataan "hipotesis Riemann" tergantung pada fakta bahwa pembagi terbesar pada $n$ tidak boleh lebih besar dari ${\frac {n}{2}}$ .

Lihat pula

Referensi

^ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. hlm. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.
^ Tao, Terence. "254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory". Terence Tao's blog.
^ Edwards, Harold M. (2001). Riemann's zeta function. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41740-0.
^ "Conditional Calculation of $π (10 24)$ ". Chris K. Caldwell. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-25. Diakses tanggal 2010-08-03.
^ Platt, David (2015). "Computing $π (x)$ analytically". Mathematics of Computation. 84 (293): 1521–1535. arXiv:1203.5712 . doi:10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR 3315519.

Pranala eksternal

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Distribution of prime numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Tabel Primes oleh Anton Felkel.
Video pendek yang memvisualisasikan Teorema Bilangan Perdana.
Rumus prima dan teorema bilangan prima di MathWorld.
Prime number theorem, PlanetMath.org.
Ada Berapa Banyak Primes? dan The Gaps between Primes oleh Chris Caldwell, University of Tennessee di Martin.
Tabel fungsi penghitungan utama oleh Tomás Oliveira e Silva

[1] Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. hlm. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.

[2] Tao, Terence. "254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory". Terence Tao's blog.

[3] Edwards, Harold M. (2001). Riemann's zeta function. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41740-0.

[Franke-4] "Conditional Calculation of $π (10 24)$ ". Chris K. Caldwell. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-25. Diakses tanggal 2010-08-03.

[PlattARXIV2012-5] Platt, David (2015). "Computing $π (x)$ analytically". Mathematics of Computation. 84 (293): 1521–1535. arXiv:1203.5712 . doi:10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR 3315519.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]