Produk setengah langsung

Dalam matematika, khususnya dalam teori grup, konsep produk setengah langsung adalah generalisasi dari produk langsung. Ada dua konsep yang terkait erat dari produk setengah langsung:

produk setengah langsung dalam adalah cara tertentu di mana grup dapat terdiri dari dua subgrup, salah satunya adalah subgrup normal.
produk setengah langsung luar adalah cara untuk membangun grup baru dari dua grup tertentu dengan menggunakan produk Kartesius sebagai himpunan dan operasi perkalian tertentu.

Seperti halnya produk langsung, terdapat persamaan alami antara produk semidirect bagian dalam dan luar, dan keduanya biasa disebut hanya sebagai "produk setengah langsung".

Untuk grup hingga, teorema Schur-Zassenhaus memberikan kondisi yang cukup untuk keberadaan dekomposisi sebagai produk semidirect (juga dikenal sebagai membelah ekstensi).

Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Diberikan grup $G$ dengan elemen identitas $e$ , sebuah subgrup $H$ , dan subgrup normal $N ◁ G$ , pernyataan berikut ini setara:

$G$ adalah produk dari subgrup, $G = NH$ , dan subgrup ini memiliki persimpangan yang sepele: $N \cap H = (e}$ .
Untuk $g \in G$ , pada $n \in N$ dan $h \in H$ sebagai $g = nh$ .
Untuk $g \in G$ , pada $h \in H$ dan $n \in N$ sebagai $g = hn$ .
Komposisi $π \circ i$ dari embedding natural $i : H \to G$ dengan proyeksi alami $π : G \to G / N$ adalah isomorfisme antara $H$ dan grup hasil bagi $G / N$ .
Terdapat homomorfisme $G \to H$ itu adalah identitas pada $H$ dan yang kernel adalah $N$ . Dengan kata lain, ada urutan yang tepat terpisah

1\to N\to G\to H\to 1

grup (yang juga dikenal sebagai ekstensi grup dari

N

by

H

).

Jika salah satu dari pernyataan ini berlaku (dan karenanya semuanya berlaku, dengan kesetaraannya), kami mengatakan $G$ adalah produk setengah langsung dari $N$ dan $H$ , ditulis

G=N\rtimes H

atau

G=H\ltimes N,

atau bahwa $G$ split over $N$ ; satu juga mengatakan bahwa $G$ adalah setengah langsung dari $H$ yang bekerja pada $N$ , atau bahkan produk setengah langsung dari $H$ dan $N$ . Untuk menghindari ambiguitas, disarankan untuk menentukan subgrup yang normal.

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup $G$ , pertimbangkan subgrup normalnya $N$ dan subgrup $H$ (belum tentu normal). Asumsikan bahwa kondisi pada daftar di atas tahan. Karena $Aut(N)$ menunjukkan grup dari semua automorfisme dari $N$ , yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup $φ : H \to Aut(N)$ didefinisikan dengan konjugasi $φ (h)(n) = hnh -1$ untuk semua $h$ di $H$ dan $n$ pada $N$ . Ekspresi $φ (h)$ sering ditulis sebagai $φ h$ untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup $G'=(N,H)$ dengan operasi grup didefinisikan sebagai $(n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})$ dari $n 1, n 2$ pada $N$ dan $h 1, h 2$ in $H$ . Subkelompok $N$ dan $H$ menentukan isomorfisme $G$ hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup $G$ dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut produk setengah langsung bagian dalam'.

Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja $N$ dan $H$ dan satu kelompok homomorfisme $φ : H \to Aut(N)$ , kita bisa membuat grup $N ⋊ φ H$ , disebut produk setengah langsung luar dari $N$ dan $H$ sehubungan dengan $φ$ , defined as follows:^[1]

Set yang mendasarinya adalah Produk Kartesius $N \times H$ .
Operasi grup $\bullet$ ditentukan oleh homomorfisme $φ$ :
${\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}$
dari $n 1, n 2$ pada $N$ dan $h 1, h 2$ pada $H$ .

Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah $(e N, e H)$ dan kebalikan dari elemen $(n, h)$ adalah $(φ h -1 (n -1), h -1)$ . $(n, e H)$ membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi $N$ , sementara $(e N, h)$ membentuk subkelompok isomorfik ke $H$ . Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.

Sebaliknya, misalkan kita diberi grup $G$ dengan subgrup normal $N$ dan subgrup $H$ , sedemikian rupa sehingga setiap elemen $g$ dari $G$ dapat ditulis secara unik dalam bentuk $g = nh$ di mana $n$ terletak di $N$ dan $h$ ada di $H$ . Maka $φ : H \to Aut(N)$ jadilah homomorfisme (tertulis $φ (h) = φ h$ ) given by

\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}

untuk $n \in N, h \in H$ .

Maka $G$ isomorfik pangkat semidirect $N ⋊ φ H$ . Isomorfisme $λ : G \to N ⋊ φ H$ didefinisikan dengan baik oleh $λ (a) = λ (nh) = (n, h)$ karena keunikan dekomposisi $a = nh$ .

Di $G$ , kami punya

(n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})

Jadi, untuk $a = n 1 h 1$ dan $b = n 2 h 2$ maka

{\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}

yang membuktikan bahwa $λ$ adalah homomorfisme. Karena $λ$ jelas merupakan epimorfisme dan monomorfisme, maka itu memang merupakan isomorfisme. Ini juga menjelaskan definisi aturan perkalian di $N ⋊ φ H$ .

Produk langsung adalah kasus khusus dari produk semidirect. Untuk melihat ini, maka $φ$ menjadi homomorfisme yang sepele (yaitu, mengirim setiap elemen $H$ ke automorfisme identitas $N$ ) lalu $N ⋊ φ H$ adalah produk langsung $N \times H$ .

Versi lemma pemisah untuk grup menyatakan bahwa grup $G$ isomorfik untuk produk semidirect dari dua grup $N$ dan $H$ jika dan hanya jika terdapat urutan tepat pendek

1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1

dan homomorfisme grup $γ : H \to G$ seperti yang $α \circ γ = id H$ , peta identitas di $H$ . Pada kasus ini, $φ : H \to Aut(N)$ diberikan oleh $φ (h) = φ h$ , dimana

\varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).

Contoh

Grup dihedral

Grup dihedral $D 2 n$ dengan $2 n$ elemen isomorfik ke produk semidirect dari grup siklik $C n$ dan $C 2$ .^[2] Di sini, elemen non-identitas $C 2$ para $C n$ dengan elemen pembalik; ini adalah automorfisme karena $C n$ adalah abelian. presentasi untuk grup ini adalah:

\langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

Grup siklik

Secara lebih umum, produk semidirect dari dua grup siklik $C m$ dengan generator $a$ dan $C n$ dengan generator $b$ diberikan oleh satu relasi ekstra, $aba -1 = b k$ , dengan $k$ dan $n$ coprime; yaitu presentasi:^[2]

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .

Jika $r$ dan $m$ coprime, $a r$ adalah generator $C m$ dan $a r ba -r = b k r$ , karenanya penyajiannya:

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle

memberikan gruo isomorfik ke yang sebelumnya.

Grup dasar dari lubang Klein

Grup fundamental dari lubang Klein dapat disajikan dalam bentuk

\langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

dan oleh karena itu merupakan produk setengah langsung dari kelompok bilangan bulat, $ℤ$ , dengan $ℤ$ . Homomorfisme yang sesuai $φ : ℤ \to Aut(ℤ)$ diberikan oleh $φ (h)(n) = (-1) h n$ .

Matriks segitiga atas

Grup $\mathbb {T} _{n}$ dari atas matriks segitiga^{[butuh klarifikasi]} dengan bukan nol determinan, yaitu dengan entri bukan nol pada diagonal, memiliki dekomposisi menjadi perkalian setengah langsung $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ ^[3] dimana $\mathbb {U} _{n}$ adalah subkelompok matriks dengan hanya $1$ pada diagonal, yang disebut kelompok matriks satuan atas, dan $\mathbb {D} _{n}$ adalah subgrup dari matriks diagonal.
Grup aksi $\mathbb {D} _{n}$ pada $\mathbb {U} _{n}$ diinduksi oleh perkalian matriks. Jika kita mengatur

$A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ dan $B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

maka perkalian matriks adalah

AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

Ini memberikan tindakan grup yang diinduksi $m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}$ ^{[butuh klarifikasi]}

m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

Sebuah matriks dalam $\mathbb {T} _{n}$ dapat diwakili oleh matriks dalam $\mathbb {U} _{n}$ dan $\mathbb {D} _{n}$ . Karenanya $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ .

Grup isometri pada bidang

Grup Euklides dari semua gerakan kaku (isometri) dari pesawat (peta $f : ℝ 2 \to ℝ 2$ sedemikian rupa sehingga jarak Euclidean antara $x$ dan $y$ sama dengan jarak antara $f (x)$ dan $f (y)$ untuk semua $x$ dan $y$ di $ℝ 2$ ) isomorfik ke produk semidirect dari grup abelian $ℝ 2$ (yang menjelaskan terjemahan) dan grup $O(2)$ dari ortogonal $2 \times 2$ matriks (yang mendeskripsikan rotasi dan refleksi yang menjaga asal tetap). Menerapkan terjemahan dan kemudian rotasi atau refleksi memiliki efek yang sama seperti menerapkan rotasi atau refleksi terlebih dahulu dan kemudian terjemahan oleh vektor terjemahan yang diputar atau dipantulkan (yaitu menerapkan konjugasi dari terjemahan aslinya). Ini menunjukkan bahwa kelompok terjemahan adalah subkelompok normal dari grup Euklides, bahwa grup Euklides adalah produk setengah langsung dari kelompok terjemahan dan $O(2)$ , dan bahwa homomorfisme yang sesuai $φ : O(2) \to Aut(ℝ 2)$ diberikan oleh perkalian matriks: $φ (h)(n) = hn$ .

Grup ortogonal O(n)

Grup ortogonal $O(n)$ dari semua ortogonal riil $n \times n$ matriks (secara intuitif himpunan dari semua rotasi dan refleksi dari $n$ - ruang dimensi yang menjaga asal tetap) isomorfik ke produk semidirect grup $SO(n)$ (terdiri dari semua matriks ortogonal dengan determinan $1$ , secara intuitif rotasi ruang dimensi $n$ ) dan $C 2$ . Jika kami mewakili $C 2$ sebagai kelompok perkalian matriks ${I, R}$ , di mana $R$ adalah refleksi dari $n$ ruang dimensi yang menjaga asal tetap (yaitu, matriks ortogonal dengan determinan $-1$ mewakili involusi), maka $φ : C 2 \to Aut(SO(n))$ diberikan oleh $φ (H)(N) = HNH -1$ untuk H pafa $C 2$ dan $N$ in $SO(n)$ . Dalam kasus non-sepele ( $H$ bukanlah identitas) ini berarti bahwa $φ (H)$ adalah operasi konjugasi oleh refleksi (dalam ruang 3 dimensi sumbu rotasi dan arah rotasi digantikan oleh "bayangan cermin" mereka).

Grup kristalografi

Dalam kristalografi, kelompok ruang dari kristal terpecah sebagai hasilkali setengah langsung dari kelompok titik dan kelompok terjemahan jika dan hanya jika kelompok ruangnya adalah simorfis. Kelompok ruang non-simorfik memiliki kelompok titik yang bahkan tidak terdapat sebagai bagian dari kelompok ruang, yang bertanggung jawab untuk banyak komplikasi dalam analisis mereka.^[4]

Bukan contoh

Ada banyak grup yang tidak dapat diekspresikan sebagai produk semi langsung dari grup namun berisi subgrup normal non-trivial. Tentu saja, setiap grup sederhana tidak dapat dinyatakan sebagai produk semi-langsung, tetapi ada beberapa contoh balasan yang umum juga. Perhatikan bahwa meskipun tidak setiap grup $G$ dapat diekspresikan sebagai ekstensi terpisah dari $H$ oleh $A$ , ternyata kelompok seperti itu dapat disematkan ke dalam produk karangan bunga $A\wr H$ oleh teorema embedding universal.

Z₄

Grup siklik $\mathbb {Z} _{4}$ bukan grup sederhana karena memiliki subgrup orde 2, yaitu $\{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}$ adalah subkelompok dan hasil bagi mereka adalah $\mathbb {Z} _{2}$ , jadi ada ekstensi

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

If the extension was split, then the group $G$ in

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

would be isomorphic to $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ .

Q₈

Grup dari delapan angka empat $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ where $ijk=-1$ and $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ , adalah contoh lain dari grup^[5] yang memiliki subkelompok non-sepele namun masih belum terpecah. Misalnya, subgrup yang dibuat oleh $i$ bersifat isomorfik $\mathbb {Z} _{4}$ dan normal. Ini juga memiliki subkelompok pesanan $2$ yang dihasilkan oleh $-1$ . Ini berarti $Q_{8}$ harus menjadi ekstensi terpisah

$0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

yang tidak bisa terjadi. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menghitung kelompok kohomologi kelompok pertama $\mathbb {Z} _{2}$ dengan koefisien dalam $\mathbb {Z} _{4}$ , begitu $H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$ dan mencatat dua kelompok dalam ekstensi ini $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ dan grup dihedral $D_{8}$ . Tapi, karena tidak satu pun dari grup ini isomorfik dengan $Q_{8}$ , grup quaternion tidak dipisahkan. Tidak adanya isomorfisme ini dapat diperiksa dengan mencatat ekstensi trivial adalah abelian sedangkan $Q_{8}$ adalah non-abelian, dan mencatat satu-satunya subgrup normal adalah $\mathbb {Z} _{2}$ dan $\mathbb {Z} _{4}$ , tetapi $Q_{8}$ memiliki tiga subgrup isomorfik $\mathbb {Z} _{4}$ .

Notasi

Biasanya produk semidirect dari grup $H$ yang bekerja pada grup $N$ (dalam banyak kasus dengan konjugasi sebagai subgrup dari grup yang sama) dilambangkan dengan $N ⋊ H$ atau $H ⋉ N$ . Namun, beberapa sumber^{[yang mana?]} boleh menggunakan simbol ini dengan arti yang berlawanan. Dalam kasus tindakan $φ : H \to Aut(N)$ harus dibuat eksplisit, salah satunya juga menulis $N ⋊ φ H$ . Salah satu cara berpikir tentang $N ⋊ H$ simbol adalah kombinasi dari simbol untuk subkelompok normal ( $◁$ ) dan simbol untuk hasil kali ( $\times$ ). Barry Simon, dalam bukunya tentang teori representasi kelompok,^[6] menggunakan notasi yang tidak biasa $N\circledS _{\varphi }H$ untuk produk semidirect.

Unicode mencantumkan empat varian:^[7]

	Nilai	MathML	Deskripsi Unicode
⋉	U+22C9	ltimes	PRODUK KIRI SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
⋊	U+22CA	rtimes	PRODUK KANAN SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
⋋	U+22CB	lthree	SEMIDIREK PRODUK KIRI
⋌	U+22CC	rthree	PRODUK SEMIDIRECT KANAN

Di sini deskripsi Unicode dari simbol waktu mengatakan "faktor normal benar", berbeda dengan arti biasanya dalam praktik matematika.

Dalam LaTeX, perintah \rtimes dan \ltimes menghasilkan karakter yang sesuai.

Lihat pula

Aljabar Affine Lie
Konstruksi Grothendieck, konstruksi kategoris yang menggeneralisasi produk semidirect
Holomorph
Lie aljabar semidirect sum
Produk setengah sub
Produk karangan bunga
Produk Zappa–Szép

Catatan

^ Robinson, Derek John Scott (2003). An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter. hlm. 75–76. ISBN 9783110175448.
^ ^a ^b Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Society. hlm. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.
^ Milne. Algebraic Groups (PDF). hlm. 45, semi–direct products.
^ Thompson, Nick. "Irreducible Brillouin Zones and Band Structures". bandgap.io. Diakses tanggal 13 Desember 2017. ^{[pranala nonaktif permanen]}
^ "abstract algebra - Can every non-simple group $G$ be written as a semidirect product?". Mathematics Stack Exchange. Diakses tanggal 2020-10-29.
^ B. Simon (1996). Representations of Finite and Compact Groups. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 6. ISBN 0-8218-0453-7.
^ Lihat unicode.org

Referensi

R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8

[1] Robinson, Derek John Scott (2003). An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter. hlm. 75–76. ISBN 9783110175448.

[mac-lane-2] Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Society. hlm. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.

[3] Milne. Algebraic Groups (PDF). hlm. 45, semi–direct products.

[4] Thompson, Nick. "Irreducible Brillouin Zones and Band Structures". bandgap.io. Diakses tanggal 13 Desember 2017. ^{[pranala nonaktif permanen]}

[5] "abstract algebra - Can every non-simple group $G$ be written as a semidirect product?". Mathematics Stack Exchange. Diakses tanggal 2020-10-29.

[Simon1996-6] B. Simon (1996). Representations of Finite and Compact Groups. Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 6. ISBN 0-8218-0453-7.

[7] Lihat unicode.org

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]